cdlemeg46gfv

Description: TODO FIX COMMENT p. 115 penultimate line: g(f(r)) = (p v q) ^ (g(s) v v_1). (Contributed by NM, 4-Apr-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemef46g.b	\|- B = ( Base ` K )
	cdlemef46g.l	\|- .<_ = ( le ` K )
	cdlemef46g.j	\|- .\/ = ( join ` K )
	cdlemef46g.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
	cdlemef46g.a	\|- A = ( Atoms ` K )
	cdlemef46g.h	\|- H = ( LHyp ` K )
	cdlemef46g.u	\|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
	cdlemef46g.d	\|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
	cdlemefs46g.e	\|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
	cdlemef46g.f	\|- F = ( x e. B \|-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
	cdlemef46.v	\|- V = ( ( Q .\/ P ) ./\ W )
	cdlemef46.n	\|- N = ( ( v .\/ V ) ./\ ( P .\/ ( ( Q .\/ v ) ./\ W ) ) )
	cdlemefs46.o	\|- O = ( ( Q .\/ P ) ./\ ( N .\/ ( ( u .\/ v ) ./\ W ) ) )
	cdlemef46.g	\|- G = ( a e. B \|-> if ( ( Q =/= P /\ -. a .<_ W ) , ( iota_ c e. B A. u e. A ( ( -. u .<_ W /\ ( u .\/ ( a ./\ W ) ) = a ) -> c = ( if ( u .<_ ( Q .\/ P ) , ( iota_ b e. B A. v e. A ( ( -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( Q .\/ P ) ) -> b = O ) ) , [_ u / v ]_ N ) .\/ ( a ./\ W ) ) ) ) , a ) )
	cdlemeg46.y	\|- Y = ( ( R .\/ ( G ` S ) ) ./\ W )
	cdlemeg46.x	\|- X = ( ( ( F ` R ) .\/ S ) ./\ W )
Assertion	cdlemeg46gfv	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` ( F ` R ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( ( G ` S ) .\/ X ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemef46g.b	\|- B = ( Base ` K )
2		cdlemef46g.l	\|- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemef46g.j	\|- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemef46g.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
5		cdlemef46g.a	\|- A = ( Atoms ` K )
6		cdlemef46g.h	\|- H = ( LHyp ` K )
7		cdlemef46g.u	\|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8		cdlemef46g.d	\|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
9		cdlemefs46g.e	\|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
10		cdlemef46g.f	\|- F = ( x e. B \|-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
11		cdlemef46.v	\|- V = ( ( Q .\/ P ) ./\ W )
12		cdlemef46.n	\|- N = ( ( v .\/ V ) ./\ ( P .\/ ( ( Q .\/ v ) ./\ W ) ) )
13		cdlemefs46.o	\|- O = ( ( Q .\/ P ) ./\ ( N .\/ ( ( u .\/ v ) ./\ W ) ) )
14		cdlemef46.g	\|- G = ( a e. B \|-> if ( ( Q =/= P /\ -. a .<_ W ) , ( iota_ c e. B A. u e. A ( ( -. u .<_ W /\ ( u .\/ ( a ./\ W ) ) = a ) -> c = ( if ( u .<_ ( Q .\/ P ) , ( iota_ b e. B A. v e. A ( ( -. v .<_ W /\ -. v .<_ ( Q .\/ P ) ) -> b = O ) ) , [_ u / v ]_ N ) .\/ ( a ./\ W ) ) ) ) , a ) )
15		cdlemeg46.y	\|- Y = ( ( R .\/ ( G ` S ) ) ./\ W )
16		cdlemeg46.x	\|- X = ( ( ( F ` R ) .\/ S ) ./\ W )
17		simp1	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) )
18		simp21	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P =/= Q )
19		simp22	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
20	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdleme46fvaw	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( ( F ` R ) e. A /\ -. ( F ` R ) .<_ W ) )
21	17 19 20	syl2anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( F ` R ) e. A /\ -. ( F ` R ) .<_ W ) )
22		simp23	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) )
23		simp3l	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) )
24	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdleme46fsvlpq	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( F ` R ) .<_ ( P .\/ Q ) )
25	17 18 19 23 24	syl121anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( F ` R ) .<_ ( P .\/ Q ) )
26		simp3r	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) )
27	1 2 3 4 5 6 11 12 13 14	cdlemeg47rv2	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( ( F ` R ) e. A /\ -. ( F ` R ) .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( F ` R ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` ( F ` R ) ) = ( ( Q .\/ P ) ./\ ( ( G ` S ) .\/ ( ( ( F ` R ) .\/ S ) ./\ W ) ) ) )
28	17 18 21 22 25 26 27	syl132anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` ( F ` R ) ) = ( ( Q .\/ P ) ./\ ( ( G ` S ) .\/ ( ( ( F ` R ) .\/ S ) ./\ W ) ) ) )
29		simp11l	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL )
30		simp12l	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. A )
31		simp13l	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Q e. A )
32	3 5	hlatjcom	\|- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) = ( Q .\/ P ) )
33	29 30 31 32	syl3anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( Q .\/ P ) )
34	16	oveq2i	\|- ( ( G ` S ) .\/ X ) = ( ( G ` S ) .\/ ( ( ( F ` R ) .\/ S ) ./\ W ) )
35	34	a1i	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( G ` S ) .\/ X ) = ( ( G ` S ) .\/ ( ( ( F ` R ) .\/ S ) ./\ W ) ) )
36	33 35	oveq12d	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( ( G ` S ) .\/ X ) ) = ( ( Q .\/ P ) ./\ ( ( G ` S ) .\/ ( ( ( F ` R ) .\/ S ) ./\ W ) ) ) )
37	28 36	eqtr4d	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` ( F ` R ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( ( G ` S ) .\/ X ) ) )

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Theorem cdlemeg46gfv

Proof