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Theorem cdlemg12c

Description: The triples <. P , ( FP ) , ( F( GP ) ) >. and <. Q , ( FQ ) , ( F( GQ ) ) >. are axially perspective by dalaw . TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 5-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg12.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg12.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemg12.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg12.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg12.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg12b.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
Assertion cdlemg12c 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ ( Q .\/ ( G ` Q ) ) ) .<_ ( ( ( ( G ` P ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ ( ( G ` Q ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ) .\/ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ P ) ./\ ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ Q ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg12.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemg12.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdlemg12.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemg12.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemg12.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 cdlemg12b.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
8 1 2 3 4 5 6 7 cdlemg12b 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ) .<_ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) )
9 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL )
10 simp21l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. A )
11 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
12 simp31 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> G e. T )
13 1 4 5 6 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ P e. A ) -> ( G ` P ) e. A )
14 11 12 10 13 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` P ) e. A )
15 simp23 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F e. T )
16 1 4 5 6 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( G ` P ) e. A ) -> ( F ` ( G ` P ) ) e. A )
17 11 15 14 16 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) e. A )
18 simp22l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Q e. A )
19 1 4 5 6 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ Q e. A ) -> ( G ` Q ) e. A )
20 11 12 18 19 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` Q ) e. A )
21 1 4 5 6 ltrncoat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ Q e. A ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) e. A )
22 11 15 12 18 21 syl121anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) e. A )
23 1 2 3 4 dalaw 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ ( G ` P ) e. A /\ ( F ` ( G ` P ) ) e. A ) /\ ( Q e. A /\ ( G ` Q ) e. A /\ ( F ` ( G ` Q ) ) e. A ) ) -> ( ( ( P .\/ Q ) ./\ ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ) .<_ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ ( Q .\/ ( G ` Q ) ) ) .<_ ( ( ( ( G ` P ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ ( ( G ` Q ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ) .\/ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ P ) ./\ ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ Q ) ) ) ) )
24 9 10 14 17 18 20 22 23 syl133anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( ( P .\/ Q ) ./\ ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ) .<_ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ ( Q .\/ ( G ` Q ) ) ) .<_ ( ( ( ( G ` P ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ ( ( G ` Q ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ) .\/ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ P ) ./\ ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ Q ) ) ) ) )
25 8 24 mpd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ ( Q .\/ ( G ` Q ) ) ) .<_ ( ( ( ( G ` P ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ ( ( G ` Q ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ) .\/ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ P ) ./\ ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ Q ) ) ) )