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Theorem cdlemg1cex

Description: Any translation is one of our F s. TODO: fix comment, move to its own block maybe? Would this help for cdlemf ? (Contributed by NM, 17-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg1c.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg1c.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg1c.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg1c.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
Assertion cdlemg1cex 
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( F e. T <-> E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg1c.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg1c.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
3 cdlemg1c.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
4 cdlemg1c.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5 1 2 3 4 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> ( ( F ` p ) e. A /\ -. ( F ` p ) .<_ W ) )
6 5 3expa 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> ( ( F ` p ) e. A /\ -. ( F ` p ) .<_ W ) )
7 6 simpld 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> ( F ` p ) e. A )
8 simprr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> -. p .<_ W )
9 6 simprd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> -. ( F ` p ) .<_ W )
10 simpll 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
11 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> ( p e. A /\ -. p .<_ W ) )
12 simplr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> F e. T )
13 1 2 3 4 cdlemeiota 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ F e. T ) -> F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = ( F ` p ) ) )
14 10 11 12 13 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = ( F ` p ) ) )
15 breq1 
 |-  ( q = ( F ` p ) -> ( q .<_ W <-> ( F ` p ) .<_ W ) )
16 15 notbid 
 |-  ( q = ( F ` p ) -> ( -. q .<_ W <-> -. ( F ` p ) .<_ W ) )
17 eqeq2 
 |-  ( q = ( F ` p ) -> ( ( f ` p ) = q <-> ( f ` p ) = ( F ` p ) ) )
18 17 riotabidv 
 |-  ( q = ( F ` p ) -> ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = ( F ` p ) ) )
19 18 eqeq2d 
 |-  ( q = ( F ` p ) -> ( F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) <-> F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = ( F ` p ) ) ) )
20 16 19 3anbi23d 
 |-  ( q = ( F ` p ) -> ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) <-> ( -. p .<_ W /\ -. ( F ` p ) .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = ( F ` p ) ) ) ) )
21 20 rspcev 
 |-  ( ( ( F ` p ) e. A /\ ( -. p .<_ W /\ -. ( F ` p ) .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = ( F ` p ) ) ) ) -> E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) )
22 7 8 9 14 21 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) ) -> E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) )
23 1 2 3 lhpexnle 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> E. p e. A -. p .<_ W )
24 23 adantr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> E. p e. A -. p .<_ W )
25 22 24 reximddv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) )
26 25 ex 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( F e. T -> E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) )
27 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
28 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) -> p e. A )
29 simp31 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) -> -. p .<_ W )
30 28 29 jca 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) -> ( p e. A /\ -. p .<_ W ) )
31 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) -> q e. A )
32 simp32 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) -> -. q .<_ W )
33 31 32 jca 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) -> ( q e. A /\ -. q .<_ W ) )
34 simp33 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) -> F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) )
35 1 2 3 4 cdlemg1ci2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ ( q e. A /\ -. q .<_ W ) ) /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) -> F e. T )
36 27 30 33 34 35 syl31anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( p e. A /\ q e. A ) /\ ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) -> F e. T )
37 36 3exp 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ( p e. A /\ q e. A ) -> ( ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) -> F e. T ) ) )
38 37 rexlimdvv 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) -> F e. T ) )
39 26 38 impbid 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( F e. T <-> E. p e. A E. q e. A ( -. p .<_ W /\ -. q .<_ W /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` p ) = q ) ) ) )