Metamath Proof Explorer

Theorem cdlemh2

Description: Part of proof of Lemma H of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 16-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemh.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemh.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemh.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemh.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemh.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemh.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemh.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemh.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemh.s 
|- S = ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
cdlemh.z 
|- .0. = ( 0. ` K )
Assertion cdlemh2 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( S ./\ W ) = .0. )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemh.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemh.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemh.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemh.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemh.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemh.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemh.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8 cdlemh.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
9 cdlemh.s 
 |-  S = ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
10 cdlemh.z 
 |-  .0. = ( 0. ` K )
11 9 oveq1i 
 |-  ( S ./\ W ) = ( ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) ./\ W )
12 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> K e. HL )
13 hlol 
 |-  ( K e. HL -> K e. OL )
14 12 13 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> K e. OL )
15 12 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> K e. Lat )
16 simp2ll 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> P e. A )
17 1 5 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. B )
18 16 17 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> P e. B )
19 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> W e. H )
20 12 19 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
21 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> G e. T )
22 1 6 7 8 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` G ) e. B )
23 20 21 22 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` G ) e. B )
24 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ ( R ` G ) e. B ) -> ( P .\/ ( R ` G ) ) e. B )
25 15 18 23 24 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( P .\/ ( R ` G ) ) e. B )
26 simp2rl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> Q e. A )
27 1 5 atbase 
 |-  ( Q e. A -> Q e. B )
28 26 27 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> Q e. B )
29 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> F e. T )
30 6 7 ltrncnv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. T )
31 20 29 30 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> `' F e. T )
32 6 7 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ `' F e. T ) -> ( G o. `' F ) e. T )
33 20 21 31 32 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( G o. `' F ) e. T )
34 1 6 7 8 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B )
35 20 33 34 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B )
36 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Q e. B /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B ) -> ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) e. B )
37 15 28 35 36 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) e. B )
38 1 6 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
39 19 38 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> W e. B )
40 1 4 latmassOLD 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( ( P .\/ ( R ` G ) ) e. B /\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) ./\ W ) = ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ./\ W ) ) )
41 14 25 37 39 40 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) ./\ W ) = ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ./\ W ) ) )
42 simp2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
43 2 4 10 5 6 lhpmat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( Q ./\ W ) = .0. )
44 20 42 43 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( Q ./\ W ) = .0. )
45 44 oveq1d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( Q ./\ W ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( .0. .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
46 2 6 7 8 trlle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G o. `' F ) e. T ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W )
47 20 33 46 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W )
48 1 2 3 4 5 atmod4i2 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( Q e. A /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B /\ W e. B ) /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W ) -> ( ( Q ./\ W ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ./\ W ) )
49 12 26 35 39 47 48 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( Q ./\ W ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ./\ W ) )
50 1 3 10 olj02 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) e. B ) -> ( .0. .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( R ` ( G o. `' F ) ) )
51 14 35 50 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( .0. .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( R ` ( G o. `' F ) ) )
52 45 49 51 3eqtr3rd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) = ( ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ./\ W ) )
53 52 oveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ./\ W ) ) )
54 simp2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
55 21 31 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( G e. T /\ `' F e. T ) )
56 simp33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` F ) =/= ( R ` G ) )
57 56 necomd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` G ) =/= ( R ` F ) )
58 6 7 8 trlcnv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` `' F ) = ( R ` F ) )
59 20 29 58 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` `' F ) = ( R ` F ) )
60 57 59 neeqtrrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` G ) =/= ( R ` `' F ) )
61 simp31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> F =/= ( _I |` B ) )
62 1 6 7 ltrncnvnid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) -> `' F =/= ( _I |` B ) )
63 20 29 61 62 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> `' F =/= ( _I |` B ) )
64 1 6 7 8 trlcone 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ `' F e. T ) /\ ( ( R ` G ) =/= ( R ` `' F ) /\ `' F =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( R ` G ) =/= ( R ` ( G o. `' F ) ) )
65 20 55 60 63 64 syl112anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` G ) =/= ( R ` ( G o. `' F ) ) )
66 simp32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> G =/= ( _I |` B ) )
67 1 5 6 7 8 trlnidat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) -> ( R ` G ) e. A )
68 20 21 66 67 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` G ) e. A )
69 2 6 7 8 trlle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` G ) .<_ W )
70 20 21 69 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` G ) .<_ W )
71 5 6 7 8 trlcoat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ `' F e. T ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` `' F ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. A )
72 20 55 60 71 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( R ` ( G o. `' F ) ) e. A )
73 2 3 4 10 5 6 lhp2at0 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` ( G o. `' F ) ) ) /\ ( ( R ` G ) e. A /\ ( R ` G ) .<_ W ) /\ ( ( R ` ( G o. `' F ) ) e. A /\ ( R ` ( G o. `' F ) ) .<_ W ) ) -> ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = .0. )
74 20 54 65 68 70 72 47 73 syl322anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = .0. )
75 41 53 74 3eqtr2rd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> .0. = ( ( ( P .\/ ( R ` G ) ) ./\ ( Q .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) ) ./\ W ) )
76 11 75 eqtr4id 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F =/= ( _I |` B ) /\ G =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) ) -> ( S ./\ W ) = .0. )