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Theorem cdlemi1

Description: Part of proof of Lemma I of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 18-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemi.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemi.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemi.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemi.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemi.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemi.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemi.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemi.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemi.e 
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
Assertion cdlemi1 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( P .\/ ( R ` G ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemi.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemi.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemi.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemi.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemi.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemi.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemi.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8 cdlemi.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
9 cdlemi.e 
 |-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
10 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. HL )
11 10 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. Lat )
12 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> U e. E )
14 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T )
15 6 7 9 tendocl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ G e. T ) -> ( U ` G ) e. T )
16 12 13 14 15 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` G ) e. T )
17 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. A )
18 1 5 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. B )
19 17 18 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. B )
20 1 6 7 ltrncl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U ` G ) e. T /\ P e. B ) -> ( ( U ` G ) ` P ) e. B )
21 12 16 19 20 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) e. B )
22 1 6 7 8 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U ` G ) e. T ) -> ( R ` ( U ` G ) ) e. B )
23 12 16 22 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( U ` G ) ) e. B )
24 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ ( R ` ( U ` G ) ) e. B ) -> ( P .\/ ( R ` ( U ` G ) ) ) e. B )
25 11 19 23 24 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ ( R ` ( U ` G ) ) ) e. B )
26 1 6 7 8 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` G ) e. B )
27 12 14 26 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` G ) e. B )
28 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ ( R ` G ) e. B ) -> ( P .\/ ( R ` G ) ) e. B )
29 11 19 27 28 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ ( R ` G ) ) e. B )
30 1 2 3 latlej2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ ( ( U ` G ) ` P ) e. B ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) )
31 11 19 21 30 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) )
32 2 3 4 5 6 7 8 trlval2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U ` G ) e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( U ` G ) ) = ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ W ) )
33 16 32 syld3an2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( U ` G ) ) = ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ W ) )
34 33 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ ( R ` ( U ` G ) ) ) = ( P .\/ ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ W ) ) )
35 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ ( ( U ` G ) ` P ) e. B ) -> ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) e. B )
36 11 19 21 35 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) e. B )
37 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. H )
38 1 6 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
39 37 38 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> W e. B )
40 1 2 3 latlej1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ ( ( U ` G ) ` P ) e. B ) -> P .<_ ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) )
41 11 19 21 40 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P .<_ ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) )
42 1 2 3 4 5 atmod3i1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) e. B /\ W e. B ) /\ P .<_ ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ W ) ) = ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ ( P .\/ W ) ) )
43 10 17 36 39 41 42 syl131anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ W ) ) = ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ ( P .\/ W ) ) )
44 eqid 
 |-  ( 1. ` K ) = ( 1. ` K )
45 2 3 44 5 6 lhpjat2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ W ) = ( 1. ` K ) )
46 45 3adant2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ W ) = ( 1. ` K ) )
47 46 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ ( P .\/ W ) ) = ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ ( 1. ` K ) ) )
48 hlol 
 |-  ( K e. HL -> K e. OL )
49 10 48 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> K e. OL )
50 1 4 44 olm11 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) e. B ) -> ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ ( 1. ` K ) ) = ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) )
51 49 36 50 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ ( 1. ` K ) ) = ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) )
52 47 51 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) ./\ ( P .\/ W ) ) = ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) )
53 34 43 52 3eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ ( R ` ( U ` G ) ) ) = ( P .\/ ( ( U ` G ) ` P ) ) )
54 31 53 breqtrrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( P .\/ ( R ` ( U ` G ) ) ) )
55 2 6 7 8 9 tendotp 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ G e. T ) -> ( R ` ( U ` G ) ) .<_ ( R ` G ) )
56 12 13 14 55 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( U ` G ) ) .<_ ( R ` G ) )
57 1 2 3 latjlej2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( R ` ( U ` G ) ) e. B /\ ( R ` G ) e. B /\ P e. B ) ) -> ( ( R ` ( U ` G ) ) .<_ ( R ` G ) -> ( P .\/ ( R ` ( U ` G ) ) ) .<_ ( P .\/ ( R ` G ) ) ) )
58 11 23 27 19 57 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( R ` ( U ` G ) ) .<_ ( R ` G ) -> ( P .\/ ( R ` ( U ` G ) ) ) .<_ ( P .\/ ( R ` G ) ) ) )
59 56 58 mpd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( P .\/ ( R ` ( U ` G ) ) ) .<_ ( P .\/ ( R ` G ) ) )
60 1 2 11 21 25 29 54 59 lattrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( U ` G ) ` P ) .<_ ( P .\/ ( R ` G ) ) )