Metamath Proof Explorer

Theorem cdlemj3

Description: Part of proof of Lemma J of Crawley p. 118. Eliminate g . (Contributed by NM, 20-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemj.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemj.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemj.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemj.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemj.e 
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
Assertion cdlemj3 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) -> ( U ` h ) = ( V ` h ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemj.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemj.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
3 cdlemj.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
4 cdlemj.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
5 cdlemj.e 
 |-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
6 simpl1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7 eqid 
 |-  ( le ` K ) = ( le ` K )
8 eqid 
 |-  ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
9 7 8 2 lhpexle2 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> E. u e. ( Atoms ` K ) ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) )
10 6 9 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) -> E. u e. ( Atoms ` K ) ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) )
11 simpl1l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) -> K e. HL )
12 11 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) ) -> K e. HL )
13 simpl1r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) -> W e. H )
14 13 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) ) -> W e. H )
15 simprl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) ) -> u e. ( Atoms ` K ) )
16 simprr1 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) ) -> u ( le ` K ) W )
17 1 7 8 2 3 4 cdlemfnid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ u ( le ` K ) W ) ) -> E. g e. T ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) )
18 12 14 15 16 17 syl22anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) ) -> E. g e. T ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) )
19 simp1l 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) )
20 simp1r 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> h =/= ( _I |` B ) )
21 simp3l 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> g e. T )
22 simp3rr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> g =/= ( _I |` B ) )
23 simp2r2 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> u =/= ( R ` F ) )
24 23 necomd 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> ( R ` F ) =/= u )
25 simp3rl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> ( R ` g ) = u )
26 24 25 neeqtrrd 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> ( R ` F ) =/= ( R ` g ) )
27 simp2r3 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> u =/= ( R ` h ) )
28 25 27 eqnetrd 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> ( R ` g ) =/= ( R ` h ) )
29 1 2 3 4 5 cdlemj2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ ( h =/= ( _I |` B ) /\ g e. T /\ g =/= ( _I |` B ) ) /\ ( ( R ` F ) =/= ( R ` g ) /\ ( R ` g ) =/= ( R ` h ) ) ) -> ( U ` h ) = ( V ` h ) )
30 19 20 21 22 26 28 29 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) /\ ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) ) -> ( U ` h ) = ( V ` h ) )
31 30 3expia 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) ) -> ( ( g e. T /\ ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( U ` h ) = ( V ` h ) ) )
32 31 expd 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) ) -> ( g e. T -> ( ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) -> ( U ` h ) = ( V ` h ) ) ) )
33 32 rexlimdv 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) ) -> ( E. g e. T ( ( R ` g ) = u /\ g =/= ( _I |` B ) ) -> ( U ` h ) = ( V ` h ) ) )
34 18 33 mpd 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) /\ ( u e. ( Atoms ` K ) /\ ( u ( le ` K ) W /\ u =/= ( R ` F ) /\ u =/= ( R ` h ) ) ) ) -> ( U ` h ) = ( V ` h ) )
35 10 34 rexlimddv 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( U e. E /\ V e. E /\ ( U ` F ) = ( V ` F ) ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ h e. T ) ) /\ h =/= ( _I |` B ) ) -> ( U ` h ) = ( V ` h ) )