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Theorem cdlemk2

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 22-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemk.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
Assertion cdlemk2 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( F ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemk.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemk.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemk.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemk.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemk.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 cdlemk.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
8 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T )
10 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> F e. T )
11 5 6 ltrncnv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> `' F e. T )
12 8 10 11 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> `' F e. T )
13 5 6 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ `' F e. T ) -> ( G o. `' F ) e. T )
14 8 9 12 13 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. `' F ) e. T )
15 2 4 5 6 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) )
16 15 3adant2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) )
17 2 3 4 5 6 7 trljat3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G o. `' F ) e. T /\ ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( ( G o. `' F ) ` ( F ` P ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
18 8 14 16 17 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( ( G o. `' F ) ` ( F ` P ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
19 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. A )
20 2 4 5 6 ltrncoval 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( G o. `' F ) e. T /\ F e. T ) /\ P e. A ) -> ( ( ( G o. `' F ) o. F ) ` P ) = ( ( G o. `' F ) ` ( F ` P ) ) )
21 8 14 10 19 20 syl121anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G o. `' F ) o. F ) ` P ) = ( ( G o. `' F ) ` ( F ` P ) ) )
22 coass 
 |-  ( ( G o. `' F ) o. F ) = ( G o. ( `' F o. F ) )
23 1 5 6 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : B -1-1-onto-> B )
24 8 10 23 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )
25 f1ococnv1 
 |-  ( F : B -1-1-onto-> B -> ( `' F o. F ) = ( _I |` B ) )
26 24 25 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` B ) )
27 26 coeq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. ( `' F o. F ) ) = ( G o. ( _I |` B ) ) )
28 1 5 6 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> G : B -1-1-onto-> B )
29 8 9 28 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G : B -1-1-onto-> B )
30 f1of 
 |-  ( G : B -1-1-onto-> B -> G : B --> B )
31 fcoi1 
 |-  ( G : B --> B -> ( G o. ( _I |` B ) ) = G )
32 29 30 31 3syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. ( _I |` B ) ) = G )
33 27 32 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G o. ( `' F o. F ) ) = G )
34 22 33 eqtrid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G o. `' F ) o. F ) = G )
35 34 fveq1d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G o. `' F ) o. F ) ` P ) = ( G ` P ) )
36 21 35 eqtr3d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G o. `' F ) ` ( F ` P ) ) = ( G ` P ) )
37 36 oveq1d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( G o. `' F ) ` ( F ` P ) ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )
38 18 37 eqtr2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) = ( ( F ` P ) .\/ ( R ` ( G o. `' F ) ) ) )