cdlemk35s-id

Description: Substitution version of cdlemk35 . (Contributed by NM, 26-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk5.b	\|- B = ( Base ` K )
	cdlemk5.l	\|- .<_ = ( le ` K )
	cdlemk5.j	\|- .\/ = ( join ` K )
	cdlemk5.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
	cdlemk5.a	\|- A = ( Atoms ` K )
	cdlemk5.h	\|- H = ( LHyp ` K )
	cdlemk5.t	\|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
	cdlemk5.r	\|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
	cdlemk5.z	\|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
	cdlemk5.y	\|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
	cdlemk5.x	\|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I \|` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
Assertion	cdlemk35s-id	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ G / g ]_ X e. T )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk5.b	\|- B = ( Base ` K )
2		cdlemk5.l	\|- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemk5.j	\|- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemk5.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
5		cdlemk5.a	\|- A = ( Atoms ` K )
6		cdlemk5.h	\|- H = ( LHyp ` K )
7		cdlemk5.t	\|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8		cdlemk5.r	\|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
9		cdlemk5.z	\|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
10		cdlemk5.y	\|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
11		cdlemk5.x	\|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I \|` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
12		simpl1	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13		simp21l	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> F e. T )
14		simp23	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> N e. T )
15		simp3r	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> ( R ` F ) = ( R ` N ) )
16	13 14 15	3jca	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> ( F e. T /\ N e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) )
17	16	adantr	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> ( F e. T /\ N e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) )
18		simpl3l	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
19		simpr	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> G = ( _I \|` B ) )
20	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemkid	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ G = ( _I \|` B ) ) ) -> [_ G / g ]_ X = ( _I \|` B ) )
21	12 17 18 19 20	syl112anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> [_ G / g ]_ X = ( _I \|` B ) )
22		simpl1l	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> K e. HL )
23		simpl1r	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> W e. H )
24	1 6 7	idltrn	\|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( _I \|` B ) e. T )
25	22 23 24	syl2anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> ( _I \|` B ) e. T )
26	21 25	eqeltrd	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> [_ G / g ]_ X e. T )
27		simpl1	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G =/= ( _I \|` B ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
28		simpl21	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G =/= ( _I \|` B ) ) -> ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) )
29		simpl22	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G =/= ( _I \|` B ) ) -> G e. T )
30		simpr	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G =/= ( _I \|` B ) ) -> G =/= ( _I \|` B ) )
31	29 30	jca	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G =/= ( _I \|` B ) ) -> ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) )
32		simpl23	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G =/= ( _I \|` B ) ) -> N e. T )
33		simpl3	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G =/= ( _I \|` B ) ) -> ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) )
34	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemk35s	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ G / g ]_ X e. T )
35	27 28 31 32 33 34	syl131anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G =/= ( _I \|` B ) ) -> [_ G / g ]_ X e. T )
36	26 35	pm2.61dane	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ G / g ]_ X e. T )

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Theorem cdlemk35s-id

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