cdlemk39s-id

Description: Substitution version of cdlemk39 with non-identity requirement on G removed. TODO: Can any commonality with cdlemk35s be exploited? (Contributed by NM, 26-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk5.b	\|- B = ( Base ` K )
	cdlemk5.l	\|- .<_ = ( le ` K )
	cdlemk5.j	\|- .\/ = ( join ` K )
	cdlemk5.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
	cdlemk5.a	\|- A = ( Atoms ` K )
	cdlemk5.h	\|- H = ( LHyp ` K )
	cdlemk5.t	\|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
	cdlemk5.r	\|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
	cdlemk5.z	\|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
	cdlemk5.y	\|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
	cdlemk5.x	\|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I \|` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
Assertion	cdlemk39s-id	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> ( R ` [_ G / g ]_ X ) .<_ ( R ` G ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk5.b	\|- B = ( Base ` K )
2		cdlemk5.l	\|- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemk5.j	\|- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemk5.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
5		cdlemk5.a	\|- A = ( Atoms ` K )
6		cdlemk5.h	\|- H = ( LHyp ` K )
7		cdlemk5.t	\|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8		cdlemk5.r	\|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
9		cdlemk5.z	\|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
10		cdlemk5.y	\|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
11		cdlemk5.x	\|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I \|` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
12		simpl1	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13		simp21l	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> F e. T )
14		simp23	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> N e. T )
15		simp3r	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> ( R ` F ) = ( R ` N ) )
16	13 14 15	3jca	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> ( F e. T /\ N e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) )
17	16	adantr	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> ( F e. T /\ N e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) )
18		simpl3l	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
19		simpr	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> G = ( _I \|` B ) )
20	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemkid	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ G = ( _I \|` B ) ) ) -> [_ G / g ]_ X = ( _I \|` B ) )
21	12 17 18 19 20	syl112anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> [_ G / g ]_ X = ( _I \|` B ) )
22	21	fveq2d	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> ( R ` [_ G / g ]_ X ) = ( R ` ( _I \|` B ) ) )
23		simpl1l	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> K e. HL )
24		simpl1r	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> W e. H )
25		eqid	\|- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
26	1 25 6 8	trlid0	\|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( R ` ( _I \|` B ) ) = ( 0. ` K ) )
27	23 24 26	syl2anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> ( R ` ( _I \|` B ) ) = ( 0. ` K ) )
28	22 27	eqtrd	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> ( R ` [_ G / g ]_ X ) = ( 0. ` K ) )
29		hlop	\|- ( K e. HL -> K e. OP )
30	23 29	syl	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> K e. OP )
31		simpl22	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> G e. T )
32	1 6 7 8	trlcl	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` G ) e. B )
33	12 31 32	syl2anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> ( R ` G ) e. B )
34	1 2 25	op0le	\|- ( ( K e. OP /\ ( R ` G ) e. B ) -> ( 0. ` K ) .<_ ( R ` G ) )
35	30 33 34	syl2anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> ( 0. ` K ) .<_ ( R ` G ) )
36	28 35	eqbrtrd	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G = ( _I \|` B ) ) -> ( R ` [_ G / g ]_ X ) .<_ ( R ` G ) )
37		simpl1	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G =/= ( _I \|` B ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
38		simpl21	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G =/= ( _I \|` B ) ) -> ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) )
39		simpl22	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G =/= ( _I \|` B ) ) -> G e. T )
40		simpr	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G =/= ( _I \|` B ) ) -> G =/= ( _I \|` B ) )
41	39 40	jca	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G =/= ( _I \|` B ) ) -> ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) )
42		simpl23	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G =/= ( _I \|` B ) ) -> N e. T )
43		simpl3	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G =/= ( _I \|` B ) ) -> ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) )
44	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemk39s	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I \|` B ) ) /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> ( R ` [_ G / g ]_ X ) .<_ ( R ` G ) )
45	37 38 41 42 43 44	syl131anc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) /\ G =/= ( _I \|` B ) ) -> ( R ` [_ G / g ]_ X ) .<_ ( R ` G ) )
46	36 45	pm2.61dane	\|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I \|` B ) ) /\ G e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> ( R ` [_ G / g ]_ X ) .<_ ( R ` G ) )

Metamath Proof Explorer

Theorem cdlemk39s-id

Proof