Metamath Proof Explorer

Theorem cdlemk47

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 2, p. 120. G , I stand for g, h. X represents tau. (Contributed by NM, 22-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemk5.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk5.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk5.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemk5.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk5.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk5.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk5.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemk5.z 
|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
cdlemk5.y 
|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
cdlemk5.x 
|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
Assertion cdlemk47 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) = ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemk5.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemk5.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemk5.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemk5.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemk5.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemk5.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8 cdlemk5.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
9 cdlemk5.z 
 |-  Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
10 cdlemk5.y 
 |-  Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
11 cdlemk5.x 
 |-  X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
12 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> K e. HL )
13 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
14 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) )
15 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) )
16 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> N e. T )
17 simp22 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
18 simp23 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( R ` F ) = ( R ` N ) )
19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ G / g ]_ X e. T )
20 13 14 15 16 17 18 19 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> [_ G / g ]_ X e. T )
21 2 5 6 7 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ G / g ]_ X e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) e. A /\ -. ( [_ G / g ]_ X ` P ) .<_ W ) )
22 13 20 17 21 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) e. A /\ -. ( [_ G / g ]_ X ` P ) .<_ W ) )
23 22 simpld 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( [_ G / g ]_ X ` P ) e. A )
24 simp31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> I e. T )
25 simp32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> I =/= ( _I |` B ) )
26 1 5 6 7 8 trlnidat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) -> ( R ` I ) e. A )
27 13 24 25 26 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( R ` I ) e. A )
28 24 25 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) )
29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) ) /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ I / g ]_ X e. T )
30 13 14 28 16 17 18 29 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> [_ I / g ]_ X e. T )
31 simp22l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> P e. A )
32 2 5 6 7 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ I / g ]_ X e. T /\ P e. A ) -> ( [_ I / g ]_ X ` P ) e. A )
33 13 30 31 32 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( [_ I / g ]_ X ` P ) e. A )
34 simp13l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> G e. T )
35 simp13r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> G =/= ( _I |` B ) )
36 1 5 6 7 8 trlnidat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) -> ( R ` G ) e. A )
37 13 34 35 36 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( R ` G ) e. A )
38 6 7 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ I e. T ) -> ( G o. I ) e. T )
39 13 34 24 38 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( G o. I ) e. T )
40 34 24 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( G e. T /\ I e. T ) )
41 simp33 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( R ` G ) =/= ( R ` I ) )
42 1 6 7 8 trlconid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ I e. T ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) -> ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) )
43 13 40 41 42 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) )
44 39 43 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( G o. I ) e. T /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) )
45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( ( G o. I ) e. T /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X e. T )
46 13 14 44 16 17 18 45 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X e. T )
47 2 5 6 7 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ ( G o. I ) / g ]_ X e. T /\ P e. A ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) e. A )
48 13 46 31 47 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) e. A )
49 24 25 43 3jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) )
50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk46 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) .<_ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) )
51 49 50 syld3an3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) .<_ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) )
52 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk45 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( G o. I ) =/= ( _I |` B ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) .<_ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) )
53 49 52 syld3an3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) .<_ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) )
54 2 6 7 8 trlle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ I e. T ) -> ( R ` I ) .<_ W )
55 13 24 54 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( R ` I ) .<_ W )
56 27 55 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( R ` I ) e. A /\ ( R ` I ) .<_ W ) )
57 2 6 7 8 trlle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> ( R ` G ) .<_ W )
58 13 34 57 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( R ` G ) .<_ W )
59 37 58 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( R ` G ) e. A /\ ( R ` G ) .<_ W ) )
60 41 necomd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( R ` I ) =/= ( R ` G ) )
61 2 3 5 6 lhp2atne 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) e. A /\ -. ( [_ G / g ]_ X ` P ) .<_ W ) /\ ( [_ I / g ]_ X ` P ) e. A ) /\ ( ( ( R ` I ) e. A /\ ( R ` I ) .<_ W ) /\ ( ( R ` G ) e. A /\ ( R ` G ) .<_ W ) ) /\ ( R ` I ) =/= ( R ` G ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) =/= ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) )
62 13 22 33 56 59 60 61 syl321anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) =/= ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) )
63 2 3 4 5 2atm 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( [_ G / g ]_ X ` P ) e. A /\ ( R ` I ) e. A ) /\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) e. A /\ ( R ` G ) e. A /\ ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) e. A ) /\ ( ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) .<_ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) /\ ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) .<_ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) /\ ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) =/= ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) = ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) ) )
64 12 23 27 33 37 48 51 53 62 63 syl333anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( [_ ( G o. I ) / g ]_ X ` P ) = ( ( ( [_ G / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` I ) ) ./\ ( ( [_ I / g ]_ X ` P ) .\/ ( R ` G ) ) ) )