Metamath Proof Explorer

Theorem cdlemk53b

Description: Lemma for cdlemk53 . (Contributed by NM, 26-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemk5.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk5.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk5.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemk5.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk5.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk5.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk5.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemk5.z 
|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
cdlemk5.y 
|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
cdlemk5.x 
|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
Assertion cdlemk53b 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemk5.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemk5.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemk5.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdlemk5.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdlemk5.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdlemk5.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8 cdlemk5.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
9 cdlemk5.z 
 |-  Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
10 cdlemk5.y 
 |-  Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
11 cdlemk5.x 
 |-  X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
12 simp1l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13 simp211 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> F e. T )
14 simp212 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> F =/= ( _I |` B ) )
15 13 14 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) )
16 simp31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> I e. T )
17 simp213 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> N e. T )
18 simp23 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
19 simp1r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( R ` F ) = ( R ` N ) )
20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s-id 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ I e. T /\ N e. T ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) ) -> [_ I / g ]_ X e. T )
21 12 15 16 17 18 19 20 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> [_ I / g ]_ X e. T )
22 1 6 7 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ [_ I / g ]_ X e. T ) -> [_ I / g ]_ X : B -1-1-onto-> B )
23 12 21 22 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> [_ I / g ]_ X : B -1-1-onto-> B )
24 23 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G = ( _I |` B ) ) -> [_ I / g ]_ X : B -1-1-onto-> B )
25 f1of 
 |-  ( [_ I / g ]_ X : B -1-1-onto-> B -> [_ I / g ]_ X : B --> B )
26 fcoi2 
 |-  ( [_ I / g ]_ X : B --> B -> ( ( _I |` B ) o. [_ I / g ]_ X ) = [_ I / g ]_ X )
27 24 25 26 3syl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G = ( _I |` B ) ) -> ( ( _I |` B ) o. [_ I / g ]_ X ) = [_ I / g ]_ X )
28 simpl1l 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G = ( _I |` B ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
29 13 17 19 3jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> ( F e. T /\ N e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) )
30 29 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G = ( _I |` B ) ) -> ( F e. T /\ N e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) )
31 simpl23 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G = ( _I |` B ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
32 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G = ( _I |` B ) ) -> G = ( _I |` B ) )
33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemkid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ N e. T /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ G = ( _I |` B ) ) ) -> [_ G / g ]_ X = ( _I |` B ) )
34 28 30 31 32 33 syl112anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G = ( _I |` B ) ) -> [_ G / g ]_ X = ( _I |` B ) )
35 34 coeq1d 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G = ( _I |` B ) ) -> ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) = ( ( _I |` B ) o. [_ I / g ]_ X ) )
36 32 coeq1d 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G = ( _I |` B ) ) -> ( G o. I ) = ( ( _I |` B ) o. I ) )
37 simpl31 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G = ( _I |` B ) ) -> I e. T )
38 1 6 7 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ I e. T ) -> I : B -1-1-onto-> B )
39 28 37 38 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G = ( _I |` B ) ) -> I : B -1-1-onto-> B )
40 f1of 
 |-  ( I : B -1-1-onto-> B -> I : B --> B )
41 fcoi2 
 |-  ( I : B --> B -> ( ( _I |` B ) o. I ) = I )
42 39 40 41 3syl 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G = ( _I |` B ) ) -> ( ( _I |` B ) o. I ) = I )
43 36 42 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G = ( _I |` B ) ) -> ( G o. I ) = I )
44 43 csbeq1d 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G = ( _I |` B ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X = [_ I / g ]_ X )
45 27 35 44 3eqtr4rd 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G = ( _I |` B ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )
46 simpl1l 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G =/= ( _I |` B ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
47 15 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G =/= ( _I |` B ) ) -> ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) )
48 simpl22 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G =/= ( _I |` B ) ) -> G e. T )
49 simpr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G =/= ( _I |` B ) ) -> G =/= ( _I |` B ) )
50 48 49 jca 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G =/= ( _I |` B ) ) -> ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) )
51 17 adantr 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G =/= ( _I |` B ) ) -> N e. T )
52 simpl23 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G =/= ( _I |` B ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
53 simpl1r 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G =/= ( _I |` B ) ) -> ( R ` F ) = ( R ` N ) )
54 simpl3 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G =/= ( _I |` B ) ) -> ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) )
55 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk53a 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) ) /\ ( G e. T /\ G =/= ( _I |` B ) ) ) /\ ( N e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )
56 46 47 50 51 52 53 54 55 syl331anc 
 |-  ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) /\ G =/= ( _I |` B ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )
57 45 56 pm2.61dane 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( ( F e. T /\ F =/= ( _I |` B ) /\ N e. T ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( I e. T /\ I =/= ( _I |` B ) /\ ( R ` G ) =/= ( R ` I ) ) ) -> [_ ( G o. I ) / g ]_ X = ( [_ G / g ]_ X o. [_ I / g ]_ X ) )