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Theorem cfilfil

Description: A Cauchy filter is a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015)

		Ref	Expression
	Assertion	cfilfil	\|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscfil	\|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( F e. ( CauFil ` D ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) )
2	1	simprbda	\|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )

Step

Hyp

Ref

Expression

 |-  ( D e. ( *Met ` X ) -> ( F e. ( CauFil ` D ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) )

 |-  ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )