Metamath Proof Explorer

Theorem cfilss

Description: A filter finer than a Cauchy filter is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015)

Ref Expression
Assertion cfilss 
|- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) /\ ( G e. ( Fil ` X ) /\ F C_ G ) ) -> G e. ( CauFil ` D ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simprl 
 |-  ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) /\ ( G e. ( Fil ` X ) /\ F C_ G ) ) -> G e. ( Fil ` X ) )
2 simprr 
 |-  ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) /\ ( G e. ( Fil ` X ) /\ F C_ G ) ) -> F C_ G )
3 iscfil 
 |-  ( D e. ( *Met ` X ) -> ( F e. ( CauFil ` D ) <-> ( F e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) )
4 3 simplbda 
 |-  ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) -> A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) )
5 4 adantr 
 |-  ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) /\ ( G e. ( Fil ` X ) /\ F C_ G ) ) -> A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) )
6 ssrexv 
 |-  ( F C_ G -> ( E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) -> E. y e. G ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) )
7 6 ralimdv 
 |-  ( F C_ G -> ( A. x e. RR+ E. y e. F ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) -> A. x e. RR+ E. y e. G ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) )
8 2 5 7 sylc 
 |-  ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) /\ ( G e. ( Fil ` X ) /\ F C_ G ) ) -> A. x e. RR+ E. y e. G ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) )
9 iscfil 
 |-  ( D e. ( *Met ` X ) -> ( G e. ( CauFil ` D ) <-> ( G e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. G ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) )
10 9 ad2antrr 
 |-  ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) /\ ( G e. ( Fil ` X ) /\ F C_ G ) ) -> ( G e. ( CauFil ` D ) <-> ( G e. ( Fil ` X ) /\ A. x e. RR+ E. y e. G ( D " ( y X. y ) ) C_ ( 0 [,) x ) ) ) )
11 1 8 10 mpbir2and 
 |-  ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( CauFil ` D ) ) /\ ( G e. ( Fil ` X ) /\ F C_ G ) ) -> G e. ( CauFil ` D ) )