Theorem cjmulval

Description: A complex number times its conjugate. (Contributed by NM, 1-Feb-2007) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014)

	Ref	Expression
Assertion	cjmulval	|- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) = ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl	|- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2	1	recnd	|- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3	2	sqvald	|- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) ^ 2 ) = ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) )
4		imcl	|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
5	4	recnd	|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6	5	sqvald	|- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) ^ 2 ) = ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) )
7	3 6	oveq12d	|- ( A e. CC -> ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) )
8		ipcnval	|- ( ( A e. CC /\ A e. CC ) -> ( Re ` ( A x. ( * ` A ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) )
9	8	anidms	|- ( A e. CC -> ( Re ` ( A x. ( * ` A ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` A ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Im ` A ) ) ) )
10		cjmulrcl	|- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) e. RR )
11		rere	|- ( ( A x. ( * ` A ) ) e. RR -> ( Re ` ( A x. ( * ` A ) ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
12	10 11	syl	|- ( A e. CC -> ( Re ` ( A x. ( * ` A ) ) ) = ( A x. ( * ` A ) ) )
13	7 9 12	3eqtr2rd	|- ( A e. CC -> ( A x. ( * ` A ) ) = ( ( ( Re ` A ) ^ 2 ) + ( ( Im ` A ) ^ 2 ) ) )