Theorem cjneg

Description: Complex conjugate of negative. (Contributed by NM, 27-Feb-2005) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014)

	Ref	Expression
Assertion	cjneg	|- ( A e. CC -> ( * ` -u A ) = -u ( * ` A ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl	|- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
2	1	recnd	|- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
3		ax-icn	|- _i e. CC
4		imcl	|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
5	4	recnd	|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
6		mulcl	|- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
7	3 5 6	sylancr	|- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
8	2 7	neg2subd	|- ( A e. CC -> ( -u ( Re ` A ) - -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) - ( Re ` A ) ) )
9		reneg	|- ( A e. CC -> ( Re ` -u A ) = -u ( Re ` A ) )
10		imneg	|- ( A e. CC -> ( Im ` -u A ) = -u ( Im ` A ) )
11	10	oveq2d	|- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` -u A ) ) = ( _i x. -u ( Im ` A ) ) )
12		mulneg2	|- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
13	3 5 12	sylancr	|- ( A e. CC -> ( _i x. -u ( Im ` A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
14	11 13	eqtrd	|- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` -u A ) ) = -u ( _i x. ( Im ` A ) ) )
15	9 14	oveq12d	|- ( A e. CC -> ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) = ( -u ( Re ` A ) - -u ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
16	2 7	negsubdi2d	|- ( A e. CC -> -u ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( _i x. ( Im ` A ) ) - ( Re ` A ) ) )
17	8 15 16	3eqtr4d	|- ( A e. CC -> ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) = -u ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
18		negcl	|- ( A e. CC -> -u A e. CC )
19		remim	|- ( -u A e. CC -> ( * ` -u A ) = ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) )
20	18 19	syl	|- ( A e. CC -> ( * ` -u A ) = ( ( Re ` -u A ) - ( _i x. ( Im ` -u A ) ) ) )
21		remim	|- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
22	21	negeqd	|- ( A e. CC -> -u ( * ` A ) = -u ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
23	17 20 22	3eqtr4d	|- ( A e. CC -> ( * ` -u A ) = -u ( * ` A ) )