Theorem clmnegsubdi2

Description: Distribution of negative over vector subtraction. (Contributed by NM, 6-Aug-2007) (Revised by AV, 29-Sep-2021)

	Ref	Expression
Hypotheses	clmpm1dir.v	|- V = ( Base ` W )
	clmpm1dir.s	|- .x. = ( .s ` W )
	clmpm1dir.a	|- .+ = ( +g ` W )
Assertion	clmnegsubdi2	|- ( ( W e. CMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( -u 1 .x. ( A .+ ( -u 1 .x. B ) ) ) = ( B .+ ( -u 1 .x. A ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clmpm1dir.v	|- V = ( Base ` W )
2		clmpm1dir.s	|- .x. = ( .s ` W )
3		clmpm1dir.a	|- .+ = ( +g ` W )
4		simp1	|- ( ( W e. CMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> W e. CMod )
5		eqid	|- ( Scalar ` W ) = ( Scalar ` W )
6		eqid	|- ( Base ` ( Scalar ` W ) ) = ( Base ` ( Scalar ` W ) )
7	5 6	clmneg1	|- ( W e. CMod -> -u 1 e. ( Base ` ( Scalar ` W ) ) )
8	7	3ad2ant1	|- ( ( W e. CMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> -u 1 e. ( Base ` ( Scalar ` W ) ) )
9		simp2	|- ( ( W e. CMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> A e. V )
10		simpl	|- ( ( W e. CMod /\ B e. V ) -> W e. CMod )
11	7	adantr	|- ( ( W e. CMod /\ B e. V ) -> -u 1 e. ( Base ` ( Scalar ` W ) ) )
12		simpr	|- ( ( W e. CMod /\ B e. V ) -> B e. V )
13	1 5 2 6	clmvscl	|- ( ( W e. CMod /\ -u 1 e. ( Base ` ( Scalar ` W ) ) /\ B e. V ) -> ( -u 1 .x. B ) e. V )
14	10 11 12 13	syl3anc	|- ( ( W e. CMod /\ B e. V ) -> ( -u 1 .x. B ) e. V )
15	14	3adant2	|- ( ( W e. CMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( -u 1 .x. B ) e. V )
16	1 5 2 6 3	clmvsdi	|- ( ( W e. CMod /\ ( -u 1 e. ( Base ` ( Scalar ` W ) ) /\ A e. V /\ ( -u 1 .x. B ) e. V ) ) -> ( -u 1 .x. ( A .+ ( -u 1 .x. B ) ) ) = ( ( -u 1 .x. A ) .+ ( -u 1 .x. ( -u 1 .x. B ) ) ) )
17	4 8 9 15 16	syl13anc	|- ( ( W e. CMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( -u 1 .x. ( A .+ ( -u 1 .x. B ) ) ) = ( ( -u 1 .x. A ) .+ ( -u 1 .x. ( -u 1 .x. B ) ) ) )
18	1 2 3	clmnegneg	|- ( ( W e. CMod /\ B e. V ) -> ( -u 1 .x. ( -u 1 .x. B ) ) = B )
19	18	3adant2	|- ( ( W e. CMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( -u 1 .x. ( -u 1 .x. B ) ) = B )
20	19	oveq2d	|- ( ( W e. CMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( ( -u 1 .x. A ) .+ ( -u 1 .x. ( -u 1 .x. B ) ) ) = ( ( -u 1 .x. A ) .+ B ) )
21		clmabl	|- ( W e. CMod -> W e. Abel )
22	21	3ad2ant1	|- ( ( W e. CMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> W e. Abel )
23		simpl	|- ( ( W e. CMod /\ A e. V ) -> W e. CMod )
24	7	adantr	|- ( ( W e. CMod /\ A e. V ) -> -u 1 e. ( Base ` ( Scalar ` W ) ) )
25		simpr	|- ( ( W e. CMod /\ A e. V ) -> A e. V )
26	1 5 2 6	clmvscl	|- ( ( W e. CMod /\ -u 1 e. ( Base ` ( Scalar ` W ) ) /\ A e. V ) -> ( -u 1 .x. A ) e. V )
27	23 24 25 26	syl3anc	|- ( ( W e. CMod /\ A e. V ) -> ( -u 1 .x. A ) e. V )
28	27	3adant3	|- ( ( W e. CMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( -u 1 .x. A ) e. V )
29		simp3	|- ( ( W e. CMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> B e. V )
30	1 3	ablcom	|- ( ( W e. Abel /\ ( -u 1 .x. A ) e. V /\ B e. V ) -> ( ( -u 1 .x. A ) .+ B ) = ( B .+ ( -u 1 .x. A ) ) )
31	22 28 29 30	syl3anc	|- ( ( W e. CMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( ( -u 1 .x. A ) .+ B ) = ( B .+ ( -u 1 .x. A ) ) )
32	17 20 31	3eqtrd	|- ( ( W e. CMod /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( -u 1 .x. ( A .+ ( -u 1 .x. B ) ) ) = ( B .+ ( -u 1 .x. A ) ) )