Theorem cmt4N

Description: Commutation with orthocomplement. Remark in Kalmbach p. 23. ( cmcm4i analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	cmt2.b	|- B = ( Base ` K )
	cmt2.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
	cmt2.c	|- C = ( cm ` K )
Assertion	cmt4N	|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( ._|_ ` X ) C ( ._|_ ` Y ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmt2.b	|- B = ( Base ` K )
2		cmt2.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
3		cmt2.c	|- C = ( cm ` K )
4	1 2 3	cmt2N	|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> X C ( ._|_ ` Y ) ) )
5		omlop	|- ( K e. OML -> K e. OP )
6	5	3ad2ant1	|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> K e. OP )
7		simp3	|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
8	1 2	opoccl	|- ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
9	6 7 8	syl2anc	|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
10	1 2 3	cmt3N	|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ ( ._|_ ` Y ) e. B ) -> ( X C ( ._|_ ` Y ) <-> ( ._|_ ` X ) C ( ._|_ ` Y ) ) )
11	9 10	syld3an3	|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C ( ._|_ ` Y ) <-> ( ._|_ ` X ) C ( ._|_ ` Y ) ) )
12	4 11	bitrd	|- ( ( K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X C Y <-> ( ._|_ ` X ) C ( ._|_ ` Y ) ) )