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Theorem cnflf

Description: A function is continuous iff it respects filter limits. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Sep-2009) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion cnflf 
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fLim f ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cncnp 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) ) )
2 simplr 
 |-  ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> F : X --> Y )
3 cnpflf 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fLim f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) ) )
4 3 ad4ant124 
 |-  ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fLim f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) ) )
5 2 4 mpbirand 
 |-  ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ x e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fLim f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) )
6 5 ralbidva 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. x e. X A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fLim f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) )
7 eqid 
 |-  U. J = U. J
8 7 flimelbas 
 |-  ( x e. ( J fLim f ) -> x e. U. J )
9 toponuni 
 |-  ( J e. ( TopOn ` X ) -> X = U. J )
10 9 ad2antrr 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> X = U. J )
11 10 eleq2d 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( x e. X <-> x e. U. J ) )
12 8 11 syl5ibr 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( x e. ( J fLim f ) -> x e. X ) )
13 12 pm4.71rd 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( x e. ( J fLim f ) <-> ( x e. X /\ x e. ( J fLim f ) ) ) )
14 13 imbi1d 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( x e. ( J fLim f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) <-> ( ( x e. X /\ x e. ( J fLim f ) ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) )
15 impexp 
 |-  ( ( ( x e. X /\ x e. ( J fLim f ) ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) <-> ( x e. X -> ( x e. ( J fLim f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) )
16 14 15 bitrdi 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( x e. ( J fLim f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) <-> ( x e. X -> ( x e. ( J fLim f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) ) )
17 16 ralbidv2 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. ( J fLim f ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) <-> A. x e. X ( x e. ( J fLim f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) )
18 17 ralbidv 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fLim f ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) <-> A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. X ( x e. ( J fLim f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) )
19 ralcom 
 |-  ( A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. X ( x e. ( J fLim f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) <-> A. x e. X A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fLim f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) )
20 18 19 bitrdi 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fLim f ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) <-> A. x e. X A. f e. ( Fil ` X ) ( x e. ( J fLim f ) -> ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) )
21 6 20 bitr4d 
 |-  ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) <-> A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fLim f ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) )
22 21 pm5.32da 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. x e. X F e. ( ( J CnP K ) ` x ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fLim f ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) )
23 1 22 bitrd 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. f e. ( Fil ` X ) A. x e. ( J fLim f ) ( F ` x ) e. ( ( K fLimf f ) ` F ) ) ) )