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Theorem cntzrec

Description: Reciprocity relationship for centralizers. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015)

Ref Expression
Hypotheses cntzrec.b 
|- B = ( Base ` M )
cntzrec.z 
|- Z = ( Cntz ` M )
Assertion cntzrec 
|- ( ( S C_ B /\ T C_ B ) -> ( S C_ ( Z ` T ) <-> T C_ ( Z ` S ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cntzrec.b 
 |-  B = ( Base ` M )
2 cntzrec.z 
 |-  Z = ( Cntz ` M )
3 ralcom 
 |-  ( A. x e. S A. y e. T ( x ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) x ) <-> A. y e. T A. x e. S ( x ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) x ) )
4 eqcom 
 |-  ( ( x ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) x ) <-> ( y ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
5 4 2ralbii 
 |-  ( A. y e. T A. x e. S ( x ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) x ) <-> A. y e. T A. x e. S ( y ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
6 3 5 bitri 
 |-  ( A. x e. S A. y e. T ( x ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) x ) <-> A. y e. T A. x e. S ( y ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) y ) )
7 6 a1i 
 |-  ( ( S C_ B /\ T C_ B ) -> ( A. x e. S A. y e. T ( x ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) x ) <-> A. y e. T A. x e. S ( y ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) y ) ) )
8 eqid 
 |-  ( +g ` M ) = ( +g ` M )
9 1 8 2 sscntz 
 |-  ( ( S C_ B /\ T C_ B ) -> ( S C_ ( Z ` T ) <-> A. x e. S A. y e. T ( x ( +g ` M ) y ) = ( y ( +g ` M ) x ) ) )
10 1 8 2 sscntz 
 |-  ( ( T C_ B /\ S C_ B ) -> ( T C_ ( Z ` S ) <-> A. y e. T A. x e. S ( y ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) y ) ) )
11 10 ancoms 
 |-  ( ( S C_ B /\ T C_ B ) -> ( T C_ ( Z ` S ) <-> A. y e. T A. x e. S ( y ( +g ` M ) x ) = ( x ( +g ` M ) y ) ) )
12 7 9 11 3bitr4d 
 |-  ( ( S C_ B /\ T C_ B ) -> ( S C_ ( Z ` T ) <-> T C_ ( Z ` S ) ) )