Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
r19.26 |
|- ( A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) <-> ( A. z e. A -. z `' R z /\ A. z e. A ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) ) |
2 |
|
vex |
|- z e. _V |
3 |
2 2
|
brcnv |
|- ( z `' R z <-> z R z ) |
4 |
|
id |
|- ( z = x -> z = x ) |
5 |
4 4
|
breq12d |
|- ( z = x -> ( z R z <-> x R x ) ) |
6 |
3 5
|
bitrid |
|- ( z = x -> ( z `' R z <-> x R x ) ) |
7 |
6
|
notbid |
|- ( z = x -> ( -. z `' R z <-> -. x R x ) ) |
8 |
7
|
cbvralvw |
|- ( A. z e. A -. z `' R z <-> A. x e. A -. x R x ) |
9 |
|
vex |
|- y e. _V |
10 |
2 9
|
brcnv |
|- ( z `' R y <-> y R z ) |
11 |
|
vex |
|- x e. _V |
12 |
9 11
|
brcnv |
|- ( y `' R x <-> x R y ) |
13 |
10 12
|
anbi12ci |
|- ( ( z `' R y /\ y `' R x ) <-> ( x R y /\ y R z ) ) |
14 |
2 11
|
brcnv |
|- ( z `' R x <-> x R z ) |
15 |
13 14
|
imbi12i |
|- ( ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) <-> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) |
16 |
15
|
ralbii |
|- ( A. z e. A ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) <-> A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) |
17 |
8 16
|
anbi12i |
|- ( ( A. z e. A -. z `' R z /\ A. z e. A ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) <-> ( A. x e. A -. x R x /\ A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) |
18 |
1 17
|
bitr2i |
|- ( ( A. x e. A -. x R x /\ A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) ) |
19 |
18
|
ralbii |
|- ( A. x e. A ( A. x e. A -. x R x /\ A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x e. A A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) ) |
20 |
|
r19.26 |
|- ( A. x e. A ( A. z e. A -. x R x /\ A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. x e. A A. z e. A -. x R x /\ A. x e. A A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) |
21 |
|
ralidm |
|- ( A. x e. A A. x e. A -. x R x <-> A. x e. A -. x R x ) |
22 |
|
rzal |
|- ( A = (/) -> A. x e. A -. x R x ) |
23 |
|
rzal |
|- ( A = (/) -> A. x e. A A. z e. A -. x R x ) |
24 |
22 23
|
2thd |
|- ( A = (/) -> ( A. x e. A -. x R x <-> A. x e. A A. z e. A -. x R x ) ) |
25 |
|
r19.3rzv |
|- ( A =/= (/) -> ( -. x R x <-> A. z e. A -. x R x ) ) |
26 |
25
|
ralbidv |
|- ( A =/= (/) -> ( A. x e. A -. x R x <-> A. x e. A A. z e. A -. x R x ) ) |
27 |
24 26
|
pm2.61ine |
|- ( A. x e. A -. x R x <-> A. x e. A A. z e. A -. x R x ) |
28 |
21 27
|
bitr2i |
|- ( A. x e. A A. z e. A -. x R x <-> A. x e. A A. x e. A -. x R x ) |
29 |
28
|
anbi1i |
|- ( ( A. x e. A A. z e. A -. x R x /\ A. x e. A A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. x e. A A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) |
30 |
20 29
|
bitri |
|- ( A. x e. A ( A. z e. A -. x R x /\ A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. x e. A A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) |
31 |
|
r19.26 |
|- ( A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. z e. A -. x R x /\ A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) |
32 |
31
|
ralbii |
|- ( A. x e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x e. A ( A. z e. A -. x R x /\ A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) |
33 |
|
r19.26 |
|- ( A. x e. A ( A. x e. A -. x R x /\ A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( A. x e. A A. x e. A -. x R x /\ A. x e. A A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) |
34 |
30 32 33
|
3bitr4i |
|- ( A. x e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x e. A ( A. x e. A -. x R x /\ A. z e. A ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) |
35 |
|
ralcom |
|- ( A. z e. A A. x e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) <-> A. x e. A A. z e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) ) |
36 |
19 34 35
|
3bitr4i |
|- ( A. x e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. z e. A A. x e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) ) |
37 |
36
|
ralbii |
|- ( A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. y e. A A. z e. A A. x e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) ) |
38 |
|
ralcom |
|- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. y e. A A. x e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) |
39 |
|
ralcom |
|- ( A. z e. A A. y e. A A. x e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) <-> A. y e. A A. z e. A A. x e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) ) |
40 |
37 38 39
|
3bitr4i |
|- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. z e. A A. y e. A A. x e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) ) |
41 |
|
df-po |
|- ( R Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) |
42 |
|
df-po |
|- ( `' R Po A <-> A. z e. A A. y e. A A. x e. A ( -. z `' R z /\ ( ( z `' R y /\ y `' R x ) -> z `' R x ) ) ) |
43 |
40 41 42
|
3bitr4i |
|- ( R Po A <-> `' R Po A ) |