Theorem cnvun

Description: The converse of a union is the union of converses. Theorem 16 of Suppes p. 62. (Contributed by NM, 25-Mar-1998) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011)

	Ref	Expression
Assertion	cnvun	|- `' ( A u. B ) = ( `' A u. `' B )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnv	|- `' ( A u. B ) = { <. x , y >. | y ( A u. B ) x }
2		unopab	|- ( { <. x , y >. | y A x } u. { <. x , y >. | y B x } ) = { <. x , y >. | ( y A x \/ y B x ) }
3		brun	|- ( y ( A u. B ) x <-> ( y A x \/ y B x ) )
4	3	opabbii	|- { <. x , y >. | y ( A u. B ) x } = { <. x , y >. | ( y A x \/ y B x ) }
5	2 4	eqtr4i	|- ( { <. x , y >. | y A x } u. { <. x , y >. | y B x } ) = { <. x , y >. | y ( A u. B ) x }
6	1 5	eqtr4i	|- `' ( A u. B ) = ( { <. x , y >. | y A x } u. { <. x , y >. | y B x } )
7		df-cnv	|- `' A = { <. x , y >. | y A x }
8		df-cnv	|- `' B = { <. x , y >. | y B x }
9	7 8	uneq12i	|- ( `' A u. `' B ) = ( { <. x , y >. | y A x } u. { <. x , y >. | y B x } )
10	6 9	eqtr4i	|- `' ( A u. B ) = ( `' A u. `' B )