Metamath Proof Explorer

Theorem dalemswapyz

Description: Lemma for dath . Swap the role of planes Y and Z to allow reuse of analogous proofs. (Contributed by NM, 14-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalema.ph 
|- ( ph <-> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) )
dalemc.l 
|- .<_ = ( le ` K )
dalemc.j 
|- .\/ = ( join ` K )
dalemc.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion dalemswapyz 
|- ( ph -> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) /\ ( Z e. O /\ Y e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( C .<_ ( S .\/ P ) /\ C .<_ ( T .\/ Q ) /\ C .<_ ( U .\/ R ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalema.ph 
 |-  ( ph <-> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) )
2 dalemc.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 dalemc.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 dalemc.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) )
6 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) )
7 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) )
8 5 6 7 3jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) )
9 simp2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( Y e. O /\ Z e. O ) )
10 9 ancomd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( Z e. O /\ Y e. O ) )
11 simp32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) )
12 simp31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) )
13 1 dalemclpjs 
 |-  ( ph -> C .<_ ( P .\/ S ) )
14 1 dalemkehl 
 |-  ( ph -> K e. HL )
15 1 dalempea 
 |-  ( ph -> P e. A )
16 1 dalemsea 
 |-  ( ph -> S e. A )
17 3 4 hlatjcom 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ S e. A ) -> ( P .\/ S ) = ( S .\/ P ) )
18 14 15 16 17 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( P .\/ S ) = ( S .\/ P ) )
19 13 18 breqtrd 
 |-  ( ph -> C .<_ ( S .\/ P ) )
20 1 dalemclqjt 
 |-  ( ph -> C .<_ ( Q .\/ T ) )
21 1 dalemqea 
 |-  ( ph -> Q e. A )
22 1 dalemtea 
 |-  ( ph -> T e. A )
23 3 4 hlatjcom 
 |-  ( ( K e. HL /\ Q e. A /\ T e. A ) -> ( Q .\/ T ) = ( T .\/ Q ) )
24 14 21 22 23 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( Q .\/ T ) = ( T .\/ Q ) )
25 20 24 breqtrd 
 |-  ( ph -> C .<_ ( T .\/ Q ) )
26 1 dalemclrju 
 |-  ( ph -> C .<_ ( R .\/ U ) )
27 1 dalemrea 
 |-  ( ph -> R e. A )
28 1 dalemuea 
 |-  ( ph -> U e. A )
29 3 4 hlatjcom 
 |-  ( ( K e. HL /\ R e. A /\ U e. A ) -> ( R .\/ U ) = ( U .\/ R ) )
30 14 27 28 29 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( R .\/ U ) = ( U .\/ R ) )
31 26 30 breqtrd 
 |-  ( ph -> C .<_ ( U .\/ R ) )
32 19 25 31 3jca 
 |-  ( ph -> ( C .<_ ( S .\/ P ) /\ C .<_ ( T .\/ Q ) /\ C .<_ ( U .\/ R ) ) )
33 1 32 sylbir 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( C .<_ ( S .\/ P ) /\ C .<_ ( T .\/ Q ) /\ C .<_ ( U .\/ R ) ) )
34 11 12 33 3jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( C .<_ ( S .\/ P ) /\ C .<_ ( T .\/ Q ) /\ C .<_ ( U .\/ R ) ) ) )
35 8 10 34 3jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) /\ ( Z e. O /\ Y e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( C .<_ ( S .\/ P ) /\ C .<_ ( T .\/ Q ) /\ C .<_ ( U .\/ R ) ) ) ) )
36 1 35 sylbi 
 |-  ( ph -> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) /\ ( Z e. O /\ Y e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( C .<_ ( S .\/ P ) /\ C .<_ ( T .\/ Q ) /\ C .<_ ( U .\/ R ) ) ) ) )