Metamath Proof Explorer

Theorem dath2

Description: Version of Desargues's theorem dath with a different variable ordering. (Contributed by NM, 7-Oct-2012)

Ref Expression
Hypotheses dathb.b 
|- B = ( Base ` K )
dathb.l 
|- .<_ = ( le ` K )
dathb.j 
|- .\/ = ( join ` K )
dathb.a 
|- A = ( Atoms ` K )
dathb.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
dathb.o 
|- O = ( LPlanes ` K )
dathb.d 
|- D = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( S .\/ T ) )
dathb.e 
|- E = ( ( Q .\/ R ) ./\ ( T .\/ U ) )
dathb.f 
|- F = ( ( R .\/ P ) ./\ ( U .\/ S ) )
Assertion dath2 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> D .<_ ( E .\/ F ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dathb.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 dathb.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 dathb.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 dathb.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 dathb.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
6 dathb.o 
 |-  O = ( LPlanes ` K )
7 dathb.d 
 |-  D = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( S .\/ T ) )
8 dathb.e 
 |-  E = ( ( Q .\/ R ) ./\ ( T .\/ U ) )
9 dathb.f 
 |-  F = ( ( R .\/ P ) ./\ ( U .\/ S ) )
10 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ C e. B ) )
11 simp122 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> Q e. A )
12 simp123 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> R e. A )
13 simp121 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> P e. A )
14 11 12 13 3jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) )
15 simp132 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> T e. A )
16 simp133 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> U e. A )
17 simp131 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> S e. A )
18 15 16 17 3jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) )
19 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> K e. HL )
20 3 4 hlatjrot 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) ) -> ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) = ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) )
21 19 11 12 13 20 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) = ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) )
22 simp2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O )
23 21 22 eqeltrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O )
24 3 4 hlatjrot 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) -> ( ( T .\/ U ) .\/ S ) = ( ( S .\/ T ) .\/ U ) )
25 19 15 16 17 24 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( ( T .\/ U ) .\/ S ) = ( ( S .\/ T ) .\/ U ) )
26 simp2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O )
27 25 26 eqeltrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O )
28 simp312 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> -. C .<_ ( Q .\/ R ) )
29 simp313 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> -. C .<_ ( R .\/ P ) )
30 simp311 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> -. C .<_ ( P .\/ Q ) )
31 28 29 30 3jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) )
32 simp322 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> -. C .<_ ( T .\/ U ) )
33 simp323 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> -. C .<_ ( U .\/ S ) )
34 simp321 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> -. C .<_ ( S .\/ T ) )
35 32 33 34 3jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) )
36 simp332 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> C .<_ ( Q .\/ T ) )
37 simp333 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> C .<_ ( R .\/ U ) )
38 simp331 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> C .<_ ( P .\/ S ) )
39 36 37 38 3jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) )
40 1 2 3 4 5 6 8 9 7 dath 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) /\ ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O /\ ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) /\ ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) ) ) -> D .<_ ( E .\/ F ) )
41 10 14 18 23 27 31 35 39 40 syl323anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. B ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> D .<_ ( E .\/ F ) )