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Theorem dchrmusum

Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by n , is bounded. Equation 9.4.16 of Shapiro, p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016)

Ref Expression
Hypotheses rpvmasum.z
|- Z = ( Z/nZ ` N )
rpvmasum.l
|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a
|- ( ph -> N e. NN )
dchrmusum.g
|- G = ( DChr ` N )
dchrmusum.d
|- D = ( Base ` G )
dchrmusum.1
|- .1. = ( 0g ` G )
dchrmusum.b
|- ( ph -> X e. D )
dchrmusum.n1
|- ( ph -> X =/= .1. )
Assertion dchrmusum
|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( mmu ` n ) / n ) ) ) e. O(1) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rpvmasum.z
 |-  Z = ( Z/nZ ` N )
2 rpvmasum.l
 |-  L = ( ZRHom ` Z )
3 rpvmasum.a
 |-  ( ph -> N e. NN )
4 dchrmusum.g
 |-  G = ( DChr ` N )
5 dchrmusum.d
 |-  D = ( Base ` G )
6 dchrmusum.1
 |-  .1. = ( 0g ` G )
7 dchrmusum.b
 |-  ( ph -> X e. D )
8 dchrmusum.n1
 |-  ( ph -> X =/= .1. )
9 eqid
 |-  ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 dchrmusumlema
 |-  ( ph -> E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) )
11 3 adantr
 |-  ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> N e. NN )
12 7 adantr
 |-  ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> X e. D )
13 8 adantr
 |-  ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> X =/= .1. )
14 simprl
 |-  ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> c e. ( 0 [,) +oo ) )
15 simprrl
 |-  ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t )
16 simprrr
 |-  ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) )
17 1 2 11 4 5 6 12 13 9 14 15 16 dchrmusumlem
 |-  ( ( ph /\ ( c e. ( 0 [,) +oo ) /\ ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) ) ) -> ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( mmu ` n ) / n ) ) ) e. O(1) )
18 17 rexlimdvaa
 |-  ( ph -> ( E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) -> ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( mmu ` n ) / n ) ) ) e. O(1) ) )
19 18 exlimdv
 |-  ( ph -> ( E. t E. c e. ( 0 [,) +oo ) ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ~~> t /\ A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) ) ` ( |_ ` y ) ) - t ) ) <_ ( c / y ) ) -> ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( mmu ` n ) / n ) ) ) e. O(1) ) )
20 10 19 mpd
 |-  ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( X ` ( L ` n ) ) x. ( ( mmu ` n ) / n ) ) ) e. O(1) )