Theorem dff14a

Description: A one-to-one function in terms of different function values for different arguments. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018)

	Ref	Expression
Assertion	dff14a	|- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> ( F ` x ) =/= ( F ` y ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff13	|- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
2		con34b	|- ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( -. x = y -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
3		df-ne	|- ( x =/= y <-> -. x = y )
4	3	bicomi	|- ( -. x = y <-> x =/= y )
5		df-ne	|- ( ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) )
6	5	bicomi	|- ( -. ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( F ` x ) =/= ( F ` y ) )
7	4 6	imbi12i	|- ( ( -. x = y -> -. ( F ` x ) = ( F ` y ) ) <-> ( x =/= y -> ( F ` x ) =/= ( F ` y ) ) )
8	2 7	bitri	|- ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( x =/= y -> ( F ` x ) =/= ( F ` y ) ) )
9	8	2ralbii	|- ( A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> ( F ` x ) =/= ( F ` y ) ) )
10	9	anbi2i	|- ( ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> ( F ` x ) =/= ( F ` y ) ) ) )
11	1 10	bitri	|- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x =/= y -> ( F ` x ) =/= ( F ` y ) ) ) )