Theorem dfiun2g

Description: Alternate definition of indexed union when B is a set. Definition 15(a) of Suppes p. 44. (Contributed by NM, 23-Mar-2006) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011) (Proof shortened by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023)

	Ref	Expression
Assertion	dfiun2g	|- ( A. x e. A B e. C -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra1	|- F/ x A. x e. A B e. C
2		rspa	|- ( ( A. x e. A B e. C /\ x e. A ) -> B e. C )
3		clel3g	|- ( B e. C -> ( z e. B <-> E. y ( y = B /\ z e. y ) ) )
4	2 3	syl	|- ( ( A. x e. A B e. C /\ x e. A ) -> ( z e. B <-> E. y ( y = B /\ z e. y ) ) )
5	1 4	rexbida	|- ( A. x e. A B e. C -> ( E. x e. A z e. B <-> E. x e. A E. y ( y = B /\ z e. y ) ) )
6		rexcom4	|- ( E. x e. A E. y ( y = B /\ z e. y ) <-> E. y E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) )
7	5 6	bitrdi	|- ( A. x e. A B e. C -> ( E. x e. A z e. B <-> E. y E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) ) )
8		r19.41v	|- ( E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) <-> ( E. x e. A y = B /\ z e. y ) )
9	8	exbii	|- ( E. y E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) <-> E. y ( E. x e. A y = B /\ z e. y ) )
10		exancom	|- ( E. y ( E. x e. A y = B /\ z e. y ) <-> E. y ( z e. y /\ E. x e. A y = B ) )
11	9 10	bitri	|- ( E. y E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) <-> E. y ( z e. y /\ E. x e. A y = B ) )
12	7 11	bitrdi	|- ( A. x e. A B e. C -> ( E. x e. A z e. B <-> E. y ( z e. y /\ E. x e. A y = B ) ) )
13		eliun	|- ( z e. U_ x e. A B <-> E. x e. A z e. B )
14		eluniab	|- ( z e. U. { y | E. x e. A y = B } <-> E. y ( z e. y /\ E. x e. A y = B ) )
15	12 13 14	3bitr4g	|- ( A. x e. A B e. C -> ( z e. U_ x e. A B <-> z e. U. { y | E. x e. A y = B } ) )
16	15	eqrdv	|- ( A. x e. A B e. C -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )