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Theorem dfrhm2

Description: The property of a ring homomorphism can be decomposed into separate homomorphic conditions for addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015)

Ref Expression
Assertion dfrhm2 
|- RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> ( ( r GrpHom s ) i^i ( ( mulGrp ` r ) MndHom ( mulGrp ` s ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 df-rhm 
 |-  RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } )
2 ancom 
 |-  ( ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) )
3 r19.26-2 
 |-  ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) )
4 3 anbi1i 
 |-  ( ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) <-> ( ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) )
5 anass 
 |-  ( ( ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
6 2 4 5 3bitri 
 |-  ( ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
7 6 rabbii 
 |-  { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) }
8 fvex 
 |-  ( Base ` r ) e. _V
9 fvex 
 |-  ( Base ` s ) e. _V
10 oveq12 
 |-  ( ( w = ( Base ` s ) /\ v = ( Base ` r ) ) -> ( w ^m v ) = ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) )
11 10 ancoms 
 |-  ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> ( w ^m v ) = ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) )
12 raleq 
 |-  ( v = ( Base ` r ) -> ( A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
13 12 raleqbi1dv 
 |-  ( v = ( Base ` r ) -> ( A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
14 13 adantr 
 |-  ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> ( A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
15 14 anbi2d 
 |-  ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> ( ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) <-> ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) ) )
16 11 15 rabeqbidv 
 |-  ( ( v = ( Base ` r ) /\ w = ( Base ` s ) ) -> { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } )
17 8 9 16 csbie2 
 |-  [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) }
18 inrab 
 |-  ( { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } i^i { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } ) = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) }
19 7 17 18 3eqtr4i 
 |-  [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = ( { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } i^i { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } )
20 ringgrp 
 |-  ( r e. Ring -> r e. Grp )
21 ringgrp 
 |-  ( s e. Ring -> s e. Grp )
22 eqid 
 |-  ( Base ` r ) = ( Base ` r )
23 eqid 
 |-  ( Base ` s ) = ( Base ` s )
24 eqid 
 |-  ( +g ` r ) = ( +g ` r )
25 eqid 
 |-  ( +g ` s ) = ( +g ` s )
26 22 23 24 25 isghm3 
 |-  ( ( r e. Grp /\ s e. Grp ) -> ( f e. ( r GrpHom s ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
27 20 21 26 syl2an 
 |-  ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( f e. ( r GrpHom s ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) ) )
28 27 eqabdv 
 |-  ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( r GrpHom s ) = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) } )
29 df-rab 
 |-  { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } = { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) }
30 9 8 elmap 
 |-  ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) <-> f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) )
31 30 anbi1i 
 |-  ( ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) )
32 31 abbii 
 |-  { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) }
33 29 32 eqtri 
 |-  { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) ) }
34 28 33 eqtr4di 
 |-  ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( r GrpHom s ) = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } )
35 eqid 
 |-  ( mulGrp ` r ) = ( mulGrp ` r )
36 35 ringmgp 
 |-  ( r e. Ring -> ( mulGrp ` r ) e. Mnd )
37 eqid 
 |-  ( mulGrp ` s ) = ( mulGrp ` s )
38 37 ringmgp 
 |-  ( s e. Ring -> ( mulGrp ` s ) e. Mnd )
39 35 22 mgpbas 
 |-  ( Base ` r ) = ( Base ` ( mulGrp ` r ) )
40 37 23 mgpbas 
 |-  ( Base ` s ) = ( Base ` ( mulGrp ` s ) )
41 eqid 
 |-  ( .r ` r ) = ( .r ` r )
42 35 41 mgpplusg 
 |-  ( .r ` r ) = ( +g ` ( mulGrp ` r ) )
43 eqid 
 |-  ( .r ` s ) = ( .r ` s )
44 37 43 mgpplusg 
 |-  ( .r ` s ) = ( +g ` ( mulGrp ` s ) )
45 eqid 
 |-  ( 1r ` r ) = ( 1r ` r )
46 35 45 ringidval 
 |-  ( 1r ` r ) = ( 0g ` ( mulGrp ` r ) )
47 eqid 
 |-  ( 1r ` s ) = ( 1r ` s )
48 37 47 ringidval 
 |-  ( 1r ` s ) = ( 0g ` ( mulGrp ` s ) )
49 39 40 42 44 46 48 ismhm 
 |-  ( f e. ( ( mulGrp ` r ) MndHom ( mulGrp ` s ) ) <-> ( ( ( mulGrp ` r ) e. Mnd /\ ( mulGrp ` s ) e. Mnd ) /\ ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
50 49 baib 
 |-  ( ( ( mulGrp ` r ) e. Mnd /\ ( mulGrp ` s ) e. Mnd ) -> ( f e. ( ( mulGrp ` r ) MndHom ( mulGrp ` s ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
51 36 38 50 syl2an 
 |-  ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( f e. ( ( mulGrp ` r ) MndHom ( mulGrp ` s ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
52 51 eqabdv 
 |-  ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( ( mulGrp ` r ) MndHom ( mulGrp ` s ) ) = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } )
53 df-rab 
 |-  { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } = { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) }
54 30 anbi1i 
 |-  ( ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
55 3anass 
 |-  ( ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) )
56 54 55 bitr4i 
 |-  ( ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) <-> ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) )
57 56 abbii 
 |-  { f | ( f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) /\ ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) }
58 53 57 eqtri 
 |-  { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } = { f | ( f : ( Base ` r ) --> ( Base ` s ) /\ A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) }
59 52 58 eqtr4di 
 |-  ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( ( mulGrp ` r ) MndHom ( mulGrp ` s ) ) = { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } )
60 34 59 ineq12d 
 |-  ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> ( ( r GrpHom s ) i^i ( ( mulGrp ` r ) MndHom ( mulGrp ` s ) ) ) = ( { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) } i^i { f e. ( ( Base ` s ) ^m ( Base ` r ) ) | ( A. x e. ( Base ` r ) A. y e. ( Base ` r ) ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) ) } ) )
61 19 60 eqtr4id 
 |-  ( ( r e. Ring /\ s e. Ring ) -> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } = ( ( r GrpHom s ) i^i ( ( mulGrp ` r ) MndHom ( mulGrp ` s ) ) ) )
62 61 mpoeq3ia 
 |-  ( r e. Ring , s e. Ring |-> [_ ( Base ` r ) / v ]_ [_ ( Base ` s ) / w ]_ { f e. ( w ^m v ) | ( ( f ` ( 1r ` r ) ) = ( 1r ` s ) /\ A. x e. v A. y e. v ( ( f ` ( x ( +g ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` s ) ( f ` y ) ) /\ ( f ` ( x ( .r ` r ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( .r ` s ) ( f ` y ) ) ) ) } ) = ( r e. Ring , s e. Ring |-> ( ( r GrpHom s ) i^i ( ( mulGrp ` r ) MndHom ( mulGrp ` s ) ) ) )
63 1 62 eqtri 
 |-  RingHom = ( r e. Ring , s e. Ring |-> ( ( r GrpHom s ) i^i ( ( mulGrp ` r ) MndHom ( mulGrp ` s ) ) ) )