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Theorem dfss2

Description: Alternate definition of the subclass relationship between two classes. Exercise 9 of TakeutiZaring p. 18. This was the original definition before df-ss . (Contributed by NM, 27-Apr-1994) Revise df-ss . (Revised by GG, 15-May-2025)

Ref Expression
Assertion dfss2 
|- ( A C_ B <-> ( A i^i B ) = A )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dfcleq 
 |-  ( { y | ( y e. A /\ y e. B ) } = A <-> A. x ( x e. { y | ( y e. A /\ y e. B ) } <-> x e. A ) )
2 df-in 
 |-  ( A i^i B ) = { y | ( y e. A /\ y e. B ) }
3 2 eqeq1i 
 |-  ( ( A i^i B ) = A <-> { y | ( y e. A /\ y e. B ) } = A )
4 df-ss 
 |-  ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
5 simp2 
 |-  ( ( ( x e. A -> x e. B ) /\ x e. A /\ x e. B ) -> x e. A )
6 5 3expib 
 |-  ( ( x e. A -> x e. B ) -> ( ( x e. A /\ x e. B ) -> x e. A ) )
7 ancl 
 |-  ( ( x e. A -> x e. B ) -> ( x e. A -> ( x e. A /\ x e. B ) ) )
8 6 7 impbid 
 |-  ( ( x e. A -> x e. B ) -> ( ( x e. A /\ x e. B ) <-> x e. A ) )
9 dfbi2 
 |-  ( ( ( x e. A /\ x e. B ) <-> x e. A ) <-> ( ( ( x e. A /\ x e. B ) -> x e. A ) /\ ( x e. A -> ( x e. A /\ x e. B ) ) ) )
10 pm2.21 
 |-  ( -. x e. A -> ( x e. A -> x e. B ) )
11 pm3.4 
 |-  ( ( x e. A /\ x e. B ) -> ( x e. A -> x e. B ) )
12 10 11 ja 
 |-  ( ( x e. A -> ( x e. A /\ x e. B ) ) -> ( x e. A -> x e. B ) )
13 9 12 simplbiim 
 |-  ( ( ( x e. A /\ x e. B ) <-> x e. A ) -> ( x e. A -> x e. B ) )
14 8 13 impbii 
 |-  ( ( x e. A -> x e. B ) <-> ( ( x e. A /\ x e. B ) <-> x e. A ) )
15 df-clab 
 |-  ( x e. { y | ( y e. A /\ y e. B ) } <-> [ x / y ] ( y e. A /\ y e. B ) )
16 eleq1w 
 |-  ( y = x -> ( y e. A <-> x e. A ) )
17 eleq1w 
 |-  ( y = x -> ( y e. B <-> x e. B ) )
18 16 17 anbi12d 
 |-  ( y = x -> ( ( y e. A /\ y e. B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) ) )
19 18 sbievw 
 |-  ( [ x / y ] ( y e. A /\ y e. B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
20 15 19 bitr2i 
 |-  ( ( x e. A /\ x e. B ) <-> x e. { y | ( y e. A /\ y e. B ) } )
21 20 bibi1i 
 |-  ( ( ( x e. A /\ x e. B ) <-> x e. A ) <-> ( x e. { y | ( y e. A /\ y e. B ) } <-> x e. A ) )
22 14 21 bitri 
 |-  ( ( x e. A -> x e. B ) <-> ( x e. { y | ( y e. A /\ y e. B ) } <-> x e. A ) )
23 22 albii 
 |-  ( A. x ( x e. A -> x e. B ) <-> A. x ( x e. { y | ( y e. A /\ y e. B ) } <-> x e. A ) )
24 4 23 bitri 
 |-  ( A C_ B <-> A. x ( x e. { y | ( y e. A /\ y e. B ) } <-> x e. A ) )
25 1 3 24 3bitr4ri 
 |-  ( A C_ B <-> ( A i^i B ) = A )