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Theorem dftr5

Description: An alternate way of defining a transitive class. Definition 1.1 of Schloeder p. 1. (Contributed by NM, 20-Mar-2004) Avoid ax-11 . (Revised by BTernaryTau, 28-Dec-2024)

Ref Expression
Assertion dftr5
|- ( Tr A <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 impexp
 |-  ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
2 1 albii
 |-  ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
3 df-ral
 |-  ( A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
4 r19.21v
 |-  ( A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) <-> ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
5 2 3 4 3bitr2i
 |-  ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
6 5 albii
 |-  ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
7 dftr2c
 |-  ( Tr A <-> A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
8 df-ral
 |-  ( A. x e. A A. y e. x y e. A <-> A. x ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
9 6 7 8 3bitr4i
 |-  ( Tr A <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )