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Theorem dftr5OLD

Description: Obsolete version of dftr5 as of 28-Dec-2024. (Contributed by NM, 20-Mar-2004) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion dftr5OLD 
|- ( Tr A <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dftr2 
 |-  ( Tr A <-> A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
2 alcom 
 |-  ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
3 impexp 
 |-  ( ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
4 3 albii 
 |-  ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
5 df-ral 
 |-  ( A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) <-> A. y ( y e. x -> ( x e. A -> y e. A ) ) )
6 4 5 bitr4i 
 |-  ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) )
7 r19.21v 
 |-  ( A. y e. x ( x e. A -> y e. A ) <-> ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
8 6 7 bitri 
 |-  ( A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
9 8 albii 
 |-  ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
10 df-ral 
 |-  ( A. x e. A A. y e. x y e. A <-> A. x ( x e. A -> A. y e. x y e. A ) )
11 9 10 bitr4i 
 |-  ( A. x A. y ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )
12 2 11 bitri 
 |-  ( A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )
13 1 12 bitri 
 |-  ( Tr A <-> A. x e. A A. y e. x y e. A )