Theorem difrab

Description: Difference of two restricted class abstractions. (Contributed by NM, 23-Oct-2004)

	Ref	Expression
Assertion	difrab	|- ( { x e. A | ph } \ { x e. A | ps } ) = { x e. A | ( ph /\ -. ps ) }

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab	|- { x e. A | ph } = { x | ( x e. A /\ ph ) }
2		df-rab	|- { x e. A | ps } = { x | ( x e. A /\ ps ) }
3	1 2	difeq12i	|- ( { x e. A | ph } \ { x e. A | ps } ) = ( { x | ( x e. A /\ ph ) } \ { x | ( x e. A /\ ps ) } )
4		df-rab	|- { x e. A | ( ph /\ -. ps ) } = { x | ( x e. A /\ ( ph /\ -. ps ) ) }
5		difab	|- ( { x | ( x e. A /\ ph ) } \ { x | ( x e. A /\ ps ) } ) = { x | ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ( x e. A /\ ps ) ) }
6		anass	|- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ps ) <-> ( x e. A /\ ( ph /\ -. ps ) ) )
7		simpr	|- ( ( x e. A /\ ps ) -> ps )
8	7	con3i	|- ( -. ps -> -. ( x e. A /\ ps ) )
9	8	anim2i	|- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ps ) -> ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ( x e. A /\ ps ) ) )
10		pm3.2	|- ( x e. A -> ( ps -> ( x e. A /\ ps ) ) )
11	10	adantr	|- ( ( x e. A /\ ph ) -> ( ps -> ( x e. A /\ ps ) ) )
12	11	con3d	|- ( ( x e. A /\ ph ) -> ( -. ( x e. A /\ ps ) -> -. ps ) )
13	12	imdistani	|- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ( x e. A /\ ps ) ) -> ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ps ) )
14	9 13	impbii	|- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ps ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ( x e. A /\ ps ) ) )
15	6 14	bitr3i	|- ( ( x e. A /\ ( ph /\ -. ps ) ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ( x e. A /\ ps ) ) )
16	15	abbii	|- { x | ( x e. A /\ ( ph /\ -. ps ) ) } = { x | ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ( x e. A /\ ps ) ) }
17	5 16	eqtr4i	|- ( { x | ( x e. A /\ ph ) } \ { x | ( x e. A /\ ps ) } ) = { x | ( x e. A /\ ( ph /\ -. ps ) ) }
18	4 17	eqtr4i	|- { x e. A | ( ph /\ -. ps ) } = ( { x | ( x e. A /\ ph ) } \ { x | ( x e. A /\ ps ) } )
19	3 18	eqtr4i	|- ( { x e. A | ph } \ { x e. A | ps } ) = { x e. A | ( ph /\ -. ps ) }