Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dihjust.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
dihjust.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
dihjust.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
dihjust.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
dihjust.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
6 |
|
dihjust.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
7 |
|
dihjust.i |
|- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W ) |
8 |
|
dihjust.J |
|- J = ( ( DIsoC ` K ) ` W ) |
9 |
|
dihjust.u |
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W ) |
10 |
|
dihjust.s |
|- .(+) = ( LSSum ` U ) |
11 |
|
simp11 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
12 |
|
simp13 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) |
13 |
|
simp12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
14 |
|
simp11l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> K e. HL ) |
15 |
14
|
hllatd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> K e. Lat ) |
16 |
|
simp2r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> Y e. B ) |
17 |
|
simp11r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> W e. H ) |
18 |
1 6
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. B ) |
19 |
17 18
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> W e. B ) |
20 |
1 4
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y ./\ W ) e. B ) |
21 |
15 16 19 20
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( Y ./\ W ) e. B ) |
22 |
1 2 4
|
latmle2 |
|- ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y ./\ W ) .<_ W ) |
23 |
15 16 19 22
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( Y ./\ W ) .<_ W ) |
24 |
21 23
|
jca |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( ( Y ./\ W ) e. B /\ ( Y ./\ W ) .<_ W ) ) |
25 |
|
simp12l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> Q e. A ) |
26 |
1 5
|
atbase |
|- ( Q e. A -> Q e. B ) |
27 |
25 26
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> Q e. B ) |
28 |
|
simp2l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> X e. B ) |
29 |
1 4
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) e. B ) |
30 |
15 28 19 29
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( X ./\ W ) e. B ) |
31 |
1 3
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ Q e. B /\ ( X ./\ W ) e. B ) -> ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) e. B ) |
32 |
15 27 30 31
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) e. B ) |
33 |
1 2 3
|
latlej1 |
|- ( ( K e. Lat /\ Q e. B /\ ( X ./\ W ) e. B ) -> Q .<_ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) ) |
34 |
15 27 30 33
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> Q .<_ ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) ) |
35 |
|
simp31 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X ) |
36 |
|
simp33 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> X .<_ Y ) |
37 |
35 36
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) .<_ Y ) |
38 |
1 2 15 27 32 16 34 37
|
lattrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> Q .<_ Y ) |
39 |
|
simp32 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y ) |
40 |
38 39
|
breqtrrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> Q .<_ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) ) |
41 |
1 2 3 5 6 9 10 7 8
|
cdlemn5 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( ( Y ./\ W ) e. B /\ ( Y ./\ W ) .<_ W ) ) /\ Q .<_ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) ) -> ( J ` Q ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) |
42 |
11 12 13 24 40 41
|
syl131anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( J ` Q ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) |
43 |
1 2 4
|
latmlem1 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ W e. B ) ) -> ( X .<_ Y -> ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) |
44 |
15 28 16 19 43
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( X .<_ Y -> ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) |
45 |
36 44
|
mpd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) ) |
46 |
1 2 4
|
latmle2 |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X ./\ W ) .<_ W ) |
47 |
15 28 19 46
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( X ./\ W ) .<_ W ) |
48 |
1 2 6 7
|
dibord |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X ./\ W ) e. B /\ ( X ./\ W ) .<_ W ) /\ ( ( Y ./\ W ) e. B /\ ( Y ./\ W ) .<_ W ) ) -> ( ( I ` ( X ./\ W ) ) C_ ( I ` ( Y ./\ W ) ) <-> ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) |
49 |
11 30 47 21 23 48
|
syl122anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( ( I ` ( X ./\ W ) ) C_ ( I ` ( Y ./\ W ) ) <-> ( X ./\ W ) .<_ ( Y ./\ W ) ) ) |
50 |
45 49
|
mpbird |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( I ` ( X ./\ W ) ) C_ ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) |
51 |
6 9 11
|
dvhlmod |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> U e. LMod ) |
52 |
|
eqid |
|- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U ) |
53 |
52
|
lsssssubg |
|- ( U e. LMod -> ( LSubSp ` U ) C_ ( SubGrp ` U ) ) |
54 |
51 53
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( LSubSp ` U ) C_ ( SubGrp ` U ) ) |
55 |
2 5 6 9 8 52
|
diclss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( J ` R ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
56 |
11 12 55
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( J ` R ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
57 |
54 56
|
sseldd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( J ` R ) e. ( SubGrp ` U ) ) |
58 |
1 2 6 9 7 52
|
diblss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Y ./\ W ) e. B /\ ( Y ./\ W ) .<_ W ) ) -> ( I ` ( Y ./\ W ) ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
59 |
11 21 23 58
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( I ` ( Y ./\ W ) ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
60 |
54 59
|
sseldd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( I ` ( Y ./\ W ) ) e. ( SubGrp ` U ) ) |
61 |
10
|
lsmub2 |
|- ( ( ( J ` R ) e. ( SubGrp ` U ) /\ ( I ` ( Y ./\ W ) ) e. ( SubGrp ` U ) ) -> ( I ` ( Y ./\ W ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) |
62 |
57 60 61
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( I ` ( Y ./\ W ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) |
63 |
50 62
|
sstrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( I ` ( X ./\ W ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) |
64 |
2 5 6 9 8 52
|
diclss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( J ` Q ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
65 |
11 13 64
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( J ` Q ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
66 |
54 65
|
sseldd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( J ` Q ) e. ( SubGrp ` U ) ) |
67 |
1 2 6 9 7 52
|
diblss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X ./\ W ) e. B /\ ( X ./\ W ) .<_ W ) ) -> ( I ` ( X ./\ W ) ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
68 |
11 30 47 67
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( I ` ( X ./\ W ) ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
69 |
54 68
|
sseldd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( I ` ( X ./\ W ) ) e. ( SubGrp ` U ) ) |
70 |
52 10
|
lsmcl |
|- ( ( U e. LMod /\ ( J ` R ) e. ( LSubSp ` U ) /\ ( I ` ( Y ./\ W ) ) e. ( LSubSp ` U ) ) -> ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
71 |
51 56 59 70
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
72 |
54 71
|
sseldd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) e. ( SubGrp ` U ) ) |
73 |
10
|
lsmlub |
|- ( ( ( J ` Q ) e. ( SubGrp ` U ) /\ ( I ` ( X ./\ W ) ) e. ( SubGrp ` U ) /\ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) e. ( SubGrp ` U ) ) -> ( ( ( J ` Q ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) /\ ( I ` ( X ./\ W ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) <-> ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) |
74 |
66 69 72 73
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( ( ( J ` Q ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) /\ ( I ` ( X ./\ W ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) <-> ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) ) |
75 |
42 63 74
|
mpbi2and |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q .\/ ( X ./\ W ) ) = X /\ ( R .\/ ( Y ./\ W ) ) = Y /\ X .<_ Y ) ) -> ( ( J ` Q ) .(+) ( I ` ( X ./\ W ) ) ) C_ ( ( J ` R ) .(+) ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) ) |