Theorem distop

Description: The discrete topology on a set A . Part of Example 2 in Munkres p. 77. (Contributed by FL, 17-Jul-2006) (Revised by Mario Carneiro, 19-Mar-2015)

	Ref	Expression
Assertion	distop	|- ( A e. V -> ~P A e. Top )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniss	|- ( x C_ ~P A -> U. x C_ U. ~P A )
2		unipw	|- U. ~P A = A
3	1 2	sseqtrdi	|- ( x C_ ~P A -> U. x C_ A )
4		vuniex	|- U. x e. _V
5	4	elpw	|- ( U. x e. ~P A <-> U. x C_ A )
6	3 5	sylibr	|- ( x C_ ~P A -> U. x e. ~P A )
7	6	ax-gen	|- A. x ( x C_ ~P A -> U. x e. ~P A )
8	7	a1i	|- ( A e. V -> A. x ( x C_ ~P A -> U. x e. ~P A ) )
9		velpw	|- ( x e. ~P A <-> x C_ A )
10		velpw	|- ( y e. ~P A <-> y C_ A )
11		ssinss1	|- ( x C_ A -> ( x i^i y ) C_ A )
12	11	a1i	|- ( y C_ A -> ( x C_ A -> ( x i^i y ) C_ A ) )
13		vex	|- y e. _V
14	13	inex2	|- ( x i^i y ) e. _V
15	14	elpw	|- ( ( x i^i y ) e. ~P A <-> ( x i^i y ) C_ A )
16	12 15	syl6ibr	|- ( y C_ A -> ( x C_ A -> ( x i^i y ) e. ~P A ) )
17	10 16	sylbi	|- ( y e. ~P A -> ( x C_ A -> ( x i^i y ) e. ~P A ) )
18	17	com12	|- ( x C_ A -> ( y e. ~P A -> ( x i^i y ) e. ~P A ) )
19	9 18	sylbi	|- ( x e. ~P A -> ( y e. ~P A -> ( x i^i y ) e. ~P A ) )
20	19	ralrimiv	|- ( x e. ~P A -> A. y e. ~P A ( x i^i y ) e. ~P A )
21	20	rgen	|- A. x e. ~P A A. y e. ~P A ( x i^i y ) e. ~P A
22	21	a1i	|- ( A e. V -> A. x e. ~P A A. y e. ~P A ( x i^i y ) e. ~P A )
23		pwexg	|- ( A e. V -> ~P A e. _V )
24		istopg	|- ( ~P A e. _V -> ( ~P A e. Top <-> ( A. x ( x C_ ~P A -> U. x e. ~P A ) /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P A ( x i^i y ) e. ~P A ) ) )
25	23 24	syl	|- ( A e. V -> ( ~P A e. Top <-> ( A. x ( x C_ ~P A -> U. x e. ~P A ) /\ A. x e. ~P A A. y e. ~P A ( x i^i y ) e. ~P A ) ) )
26	8 22 25	mpbir2and	|- ( A e. V -> ~P A e. Top )