Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dochdmj1.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
2 |
|
dochdmj1.u |
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W ) |
3 |
|
dochdmj1.v |
|- V = ( Base ` U ) |
4 |
|
dochdmj1.o |
|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W ) |
5 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
6 |
|
simp2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> X C_ V ) |
7 |
|
simp3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> Y C_ V ) |
8 |
6 7
|
unssd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( X u. Y ) C_ V ) |
9 |
|
ssun1 |
|- X C_ ( X u. Y ) |
10 |
9
|
a1i |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> X C_ ( X u. Y ) ) |
11 |
1 2 3 4
|
dochss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X u. Y ) C_ V /\ X C_ ( X u. Y ) ) -> ( ._|_ ` ( X u. Y ) ) C_ ( ._|_ ` X ) ) |
12 |
5 8 10 11
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ._|_ ` ( X u. Y ) ) C_ ( ._|_ ` X ) ) |
13 |
|
ssun2 |
|- Y C_ ( X u. Y ) |
14 |
13
|
a1i |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> Y C_ ( X u. Y ) ) |
15 |
1 2 3 4
|
dochss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X u. Y ) C_ V /\ Y C_ ( X u. Y ) ) -> ( ._|_ ` ( X u. Y ) ) C_ ( ._|_ ` Y ) ) |
16 |
5 8 14 15
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ._|_ ` ( X u. Y ) ) C_ ( ._|_ ` Y ) ) |
17 |
12 16
|
ssind |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ._|_ ` ( X u. Y ) ) C_ ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) |
18 |
|
eqid |
|- ( ( DIsoH ` K ) ` W ) = ( ( DIsoH ` K ) ` W ) |
19 |
1 18 2 3 4
|
dochcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( ._|_ ` X ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
20 |
19
|
3adant3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ._|_ ` X ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
21 |
1 18 2 3 4
|
dochcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y C_ V ) -> ( ._|_ ` Y ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
22 |
21
|
3adant2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ._|_ ` Y ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
23 |
1 18
|
dihmeetcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( ._|_ ` X ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) /\ ( ._|_ ` Y ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
24 |
5 20 22 23
|
syl12anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) |
25 |
1 18 4
|
dochoc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) ) = ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) |
26 |
5 24 25
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) ) = ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) |
27 |
1 2 3 4
|
dochssv |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( ._|_ ` X ) C_ V ) |
28 |
27
|
3adant3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ._|_ ` X ) C_ V ) |
29 |
|
ssinss1 |
|- ( ( ._|_ ` X ) C_ V -> ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) C_ V ) |
30 |
28 29
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) C_ V ) |
31 |
1 2 3 4
|
dochssv |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) C_ V ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) C_ V ) |
32 |
5 30 31
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) C_ V ) |
33 |
1 2 3 4
|
dochocss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> X C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) |
34 |
33
|
3adant3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> X C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) |
35 |
1 2 3 4
|
dochocss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y C_ V ) -> Y C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) |
36 |
35
|
3adant2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> Y C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) |
37 |
|
unss12 |
|- ( ( X C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) /\ Y C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) -> ( X u. Y ) C_ ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) u. ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) ) |
38 |
34 36 37
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( X u. Y ) C_ ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) u. ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) ) |
39 |
|
inss1 |
|- ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) C_ ( ._|_ ` X ) |
40 |
39
|
a1i |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) C_ ( ._|_ ` X ) ) |
41 |
1 2 3 4
|
dochss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` X ) C_ V /\ ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) C_ ( ._|_ ` X ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) ) |
42 |
5 28 40 41
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) ) |
43 |
1 2 3 4
|
dochssv |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y C_ V ) -> ( ._|_ ` Y ) C_ V ) |
44 |
43
|
3adant2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ._|_ ` Y ) C_ V ) |
45 |
|
inss2 |
|- ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) C_ ( ._|_ ` Y ) |
46 |
45
|
a1i |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) C_ ( ._|_ ` Y ) ) |
47 |
1 2 3 4
|
dochss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` Y ) C_ V /\ ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) C_ ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) ) |
48 |
5 44 46 47
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) C_ ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) ) |
49 |
42 48
|
unssd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) u. ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) ) |
50 |
38 49
|
sstrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( X u. Y ) C_ ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) ) |
51 |
1 2 3 4
|
dochss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) C_ V /\ ( X u. Y ) C_ ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( X u. Y ) ) ) |
52 |
5 32 50 51
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( X u. Y ) ) ) |
53 |
26 52
|
eqsstrrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) C_ ( ._|_ ` ( X u. Y ) ) ) |
54 |
17 53
|
eqssd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V /\ Y C_ V ) -> ( ._|_ ` ( X u. Y ) ) = ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) |