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Theorem dochocsp

Description: The span of an orthocomplement equals the orthocomplement of the span. (Contributed by NM, 7-Aug-2014)

Ref Expression
Hypotheses dochsp.h 
|- H = ( LHyp ` K )
dochsp.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dochsp.o 
|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
dochsp.v 
|- V = ( Base ` U )
dochsp.n 
|- N = ( LSpan ` U )
dochsp.k 
|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dochsp.x 
|- ( ph -> X C_ V )
Assertion dochocsp 
|- ( ph -> ( ._|_ ` ( N ` X ) ) = ( ._|_ ` X ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dochsp.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 dochsp.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3 dochsp.o 
 |-  ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
4 dochsp.v 
 |-  V = ( Base ` U )
5 dochsp.n 
 |-  N = ( LSpan ` U )
6 dochsp.k 
 |-  ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7 dochsp.x 
 |-  ( ph -> X C_ V )
8 1 2 6 dvhlmod 
 |-  ( ph -> U e. LMod )
9 4 5 lspssv 
 |-  ( ( U e. LMod /\ X C_ V ) -> ( N ` X ) C_ V )
10 8 7 9 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( N ` X ) C_ V )
11 4 5 lspssid 
 |-  ( ( U e. LMod /\ X C_ V ) -> X C_ ( N ` X ) )
12 8 7 11 syl2anc 
 |-  ( ph -> X C_ ( N ` X ) )
13 1 2 4 3 dochss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( N ` X ) C_ V /\ X C_ ( N ` X ) ) -> ( ._|_ ` ( N ` X ) ) C_ ( ._|_ ` X ) )
14 6 10 12 13 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( N ` X ) ) C_ ( ._|_ ` X ) )
15 eqid 
 |-  ( ( DIsoH ` K ) ` W ) = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
16 1 15 2 4 3 dochcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( ._|_ ` X ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) )
17 6 7 16 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` X ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) )
18 1 15 3 dochoc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` X ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) = ( ._|_ ` X ) )
19 6 17 18 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) = ( ._|_ ` X ) )
20 1 2 4 3 dochssv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( ._|_ ` X ) C_ V )
21 6 7 20 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` X ) C_ V )
22 1 2 4 3 dochssv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` X ) C_ V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ V )
23 6 21 22 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ V )
24 1 2 3 4 5 6 7 dochspss 
 |-  ( ph -> ( N ` X ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )
25 1 2 4 3 dochss 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ V /\ ( N ` X ) C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( N ` X ) ) )
26 6 23 24 25 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) C_ ( ._|_ ` ( N ` X ) ) )
27 19 26 eqsstrrd 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` X ) C_ ( ._|_ ` ( N ` X ) ) )
28 14 27 eqssd 
 |-  ( ph -> ( ._|_ ` ( N ` X ) ) = ( ._|_ ` X ) )