Theorem dochord3

Description: Ordering law for orthocomplement. (Contributed by NM, 9-Mar-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	doch11.h	|- H = ( LHyp ` K )
	doch11.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
	doch11.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
	doch11.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
	doch11.x	|- ( ph -> X e. ran I )
	doch11.y	|- ( ph -> Y e. ran I )
Assertion	dochord3	|- ( ph -> ( X C_ ( ._|_ ` Y ) <-> Y C_ ( ._|_ ` X ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch11.h	|- H = ( LHyp ` K )
2		doch11.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
3		doch11.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
4		doch11.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
5		doch11.x	|- ( ph -> X e. ran I )
6		doch11.y	|- ( ph -> Y e. ran I )
7		eqid	|- ( ( DVecH ` K ) ` W ) = ( ( DVecH ` K ) ` W )
8		eqid	|- ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) )
9	1 7 2 8	dihrnlss	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. ran I ) -> Y e. ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
10	4 6 9	syl2anc	|- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
11		eqid	|- ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) = ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) )
12	11 8	lssss	|- ( Y e. ( LSubSp ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) -> Y C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
13	10 12	syl	|- ( ph -> Y C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) )
14	1 2 7 11 3	dochcl	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y C_ ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` W ) ) ) -> ( ._|_ ` Y ) e. ran I )
15	4 13 14	syl2anc	|- ( ph -> ( ._|_ ` Y ) e. ran I )
16	1 2 3 4 5 15	dochord	|- ( ph -> ( X C_ ( ._|_ ` Y ) <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) C_ ( ._|_ ` X ) ) )
17	1 2 3	dochoc	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. ran I ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
18	4 6 17	syl2anc	|- ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) = Y )
19	18	sseq1d	|- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` Y ) ) C_ ( ._|_ ` X ) <-> Y C_ ( ._|_ ` X ) ) )
20	16 19	bitrd	|- ( ph -> ( X C_ ( ._|_ ` Y ) <-> Y C_ ( ._|_ ` X ) ) )