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Theorem dvaddbr

Description: The sum rule for derivatives at a point. For the (simpler but more limited) function version, see dvadd . (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016)

Ref Expression
Hypotheses dvadd.f 
|- ( ph -> F : X --> CC )
dvadd.x 
|- ( ph -> X C_ S )
dvadd.g 
|- ( ph -> G : Y --> CC )
dvadd.y 
|- ( ph -> Y C_ S )
dvaddbr.s 
|- ( ph -> S C_ CC )
dvadd.k 
|- ( ph -> K e. V )
dvadd.l 
|- ( ph -> L e. V )
dvadd.bf 
|- ( ph -> C ( S _D F ) K )
dvadd.bg 
|- ( ph -> C ( S _D G ) L )
dvadd.j 
|- J = ( TopOpen ` CCfld )
Assertion dvaddbr 
|- ( ph -> C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dvadd.f 
 |-  ( ph -> F : X --> CC )
2 dvadd.x 
 |-  ( ph -> X C_ S )
3 dvadd.g 
 |-  ( ph -> G : Y --> CC )
4 dvadd.y 
 |-  ( ph -> Y C_ S )
5 dvaddbr.s 
 |-  ( ph -> S C_ CC )
6 dvadd.k 
 |-  ( ph -> K e. V )
7 dvadd.l 
 |-  ( ph -> L e. V )
8 dvadd.bf 
 |-  ( ph -> C ( S _D F ) K )
9 dvadd.bg 
 |-  ( ph -> C ( S _D G ) L )
10 dvadd.j 
 |-  J = ( TopOpen ` CCfld )
11 eqid 
 |-  ( J |`t S ) = ( J |`t S )
12 eqid 
 |-  ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) )
13 11 10 12 5 1 2 eldv 
 |-  ( ph -> ( C ( S _D F ) K <-> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) ) )
14 8 13 mpbid 
 |-  ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) )
15 14 simpld 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) )
16 eqid 
 |-  ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
17 11 10 16 5 3 4 eldv 
 |-  ( ph -> ( C ( S _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) ) )
18 9 17 mpbid 
 |-  ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) )
19 18 simpld 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) )
20 15 19 elind 
 |-  ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) ) )
21 10 cnfldtopon 
 |-  J e. ( TopOn ` CC )
22 resttopon 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( J |`t S ) e. ( TopOn ` S ) )
23 21 5 22 sylancr 
 |-  ( ph -> ( J |`t S ) e. ( TopOn ` S ) )
24 topontop 
 |-  ( ( J |`t S ) e. ( TopOn ` S ) -> ( J |`t S ) e. Top )
25 23 24 syl 
 |-  ( ph -> ( J |`t S ) e. Top )
26 toponuni 
 |-  ( ( J |`t S ) e. ( TopOn ` S ) -> S = U. ( J |`t S ) )
27 23 26 syl 
 |-  ( ph -> S = U. ( J |`t S ) )
28 2 27 sseqtrd 
 |-  ( ph -> X C_ U. ( J |`t S ) )
29 4 27 sseqtrd 
 |-  ( ph -> Y C_ U. ( J |`t S ) )
30 eqid 
 |-  U. ( J |`t S ) = U. ( J |`t S )
31 30 ntrin 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J |`t S ) /\ Y C_ U. ( J |`t S ) ) -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) ) )
32 25 28 29 31 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) ) )
33 20 32 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
34 inss1 
 |-  ( X i^i Y ) C_ X
35 ssdif 
 |-  ( ( X i^i Y ) C_ X -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X \ { C } ) )
36 34 35 mp1i 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X \ { C } ) )
37 36 sselda 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. ( X \ { C } ) )
38 2 5 sstrd 
 |-  ( ph -> X C_ CC )
39 30 ntrss2 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J |`t S ) ) -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) C_ X )
40 25 28 39 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) C_ X )
41 40 15 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. X )
42 1 38 41 dvlem 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
43 37 42 syldan 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
44 inss2 
 |-  ( X i^i Y ) C_ Y
45 ssdif 
 |-  ( ( X i^i Y ) C_ Y -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( Y \ { C } ) )
46 44 45 mp1i 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( Y \ { C } ) )
47 46 sselda 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. ( Y \ { C } ) )
48 4 5 sstrd 
 |-  ( ph -> Y C_ CC )
49 30 ntrss2 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ Y C_ U. ( J |`t S ) ) -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) C_ Y )
50 25 29 49 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) C_ Y )
51 50 19 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. Y )
52 3 48 51 dvlem 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
53 47 52 syldan 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
54 ssidd 
 |-  ( ph -> CC C_ CC )
55 txtopon 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` CC ) /\ J e. ( TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. ( TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
56 21 21 55 mp2an 
 |-  ( J tX J ) e. ( TopOn ` ( CC X. CC ) )
57 56 toponrestid 
 |-  ( J tX J ) = ( ( J tX J ) |`t ( CC X. CC ) )
58 14 simprd 
 |-  ( ph -> K e. ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
59 42 fmpttd 
 |-  ( ph -> ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) : ( X \ { C } ) --> CC )
60 38 ssdifssd 
 |-  ( ph -> ( X \ { C } ) C_ CC )
61 eqid 
 |-  ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) )
62 34 2 sstrid 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ S )
63 62 27 sseqtrd 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ U. ( J |`t S ) )
64 difssd 
 |-  ( ph -> ( U. ( J |`t S ) \ X ) C_ U. ( J |`t S ) )
65 63 64 unssd 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) C_ U. ( J |`t S ) )
66 ssun1 
 |-  ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) )
67 66 a1i 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) )
68 30 ntrss 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) C_ U. ( J |`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) )
69 25 65 67 68 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) )
70 69 33 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) )
71 70 41 elind 
 |-  ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) )
72 34 a1i 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ X )
73 eqid 
 |-  ( ( J |`t S ) |`t X ) = ( ( J |`t S ) |`t X )
74 30 73 restntr 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J |`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ X ) -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) )
75 25 28 72 74 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) )
76 10 cnfldtop 
 |-  J e. Top
77 76 a1i 
 |-  ( ph -> J e. Top )
78 cnex 
 |-  CC e. _V
79 ssexg 
 |-  ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
80 5 78 79 sylancl 
 |-  ( ph -> S e. _V )
81 restabs 
 |-  ( ( J e. Top /\ X C_ S /\ S e. _V ) -> ( ( J |`t S ) |`t X ) = ( J |`t X ) )
82 77 2 80 81 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( J |`t S ) |`t X ) = ( J |`t X ) )
83 82 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( int ` ( ( J |`t S ) |`t X ) ) = ( int ` ( J |`t X ) ) )
84 83 fveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( int ` ( J |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
85 75 84 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) = ( ( int ` ( J |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
86 71 85 eleqtrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
87 undif1 
 |-  ( ( X \ { C } ) u. { C } ) = ( X u. { C } )
88 41 snssd 
 |-  ( ph -> { C } C_ X )
89 ssequn2 
 |-  ( { C } C_ X <-> ( X u. { C } ) = X )
90 88 89 sylib 
 |-  ( ph -> ( X u. { C } ) = X )
91 87 90 syl5eq 
 |-  ( ph -> ( ( X \ { C } ) u. { C } ) = X )
92 91 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J |`t X ) )
93 92 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( int ` ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) ) = ( int ` ( J |`t X ) ) )
94 undif1 
 |-  ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) = ( ( X i^i Y ) u. { C } )
95 41 51 elind 
 |-  ( ph -> C e. ( X i^i Y ) )
96 95 snssd 
 |-  ( ph -> { C } C_ ( X i^i Y ) )
97 ssequn2 
 |-  ( { C } C_ ( X i^i Y ) <-> ( ( X i^i Y ) u. { C } ) = ( X i^i Y ) )
98 96 97 sylib 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) u. { C } ) = ( X i^i Y ) )
99 94 98 syl5eq 
 |-  ( ph -> ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) = ( X i^i Y ) )
100 93 99 fveq12d 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( J |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
101 86 100 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) )
102 59 36 60 10 61 101 limcres 
 |-  ( ph -> ( ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
103 36 resmptd 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
104 103 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
105 102 104 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
106 58 105 eleqtrd 
 |-  ( ph -> K e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
107 18 simprd 
 |-  ( ph -> L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
108 52 fmpttd 
 |-  ( ph -> ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) : ( Y \ { C } ) --> CC )
109 48 ssdifssd 
 |-  ( ph -> ( Y \ { C } ) C_ CC )
110 eqid 
 |-  ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) )
111 difssd 
 |-  ( ph -> ( U. ( J |`t S ) \ Y ) C_ U. ( J |`t S ) )
112 63 111 unssd 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) C_ U. ( J |`t S ) )
113 ssun1 
 |-  ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) )
114 113 a1i 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) )
115 30 ntrss 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) C_ U. ( J |`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) )
116 25 112 114 115 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) )
117 116 33 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) )
118 117 51 elind 
 |-  ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) )
119 44 a1i 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ Y )
120 eqid 
 |-  ( ( J |`t S ) |`t Y ) = ( ( J |`t S ) |`t Y )
121 30 120 restntr 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ Y C_ U. ( J |`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ Y ) -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) )
122 25 29 119 121 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) )
123 restabs 
 |-  ( ( J e. Top /\ Y C_ S /\ S e. _V ) -> ( ( J |`t S ) |`t Y ) = ( J |`t Y ) )
124 77 4 80 123 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( J |`t S ) |`t Y ) = ( J |`t Y ) )
125 124 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( int ` ( ( J |`t S ) |`t Y ) ) = ( int ` ( J |`t Y ) ) )
126 125 fveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( int ` ( J |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
127 122 126 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) = ( ( int ` ( J |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
128 118 127 eleqtrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
129 undif1 
 |-  ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) = ( Y u. { C } )
130 51 snssd 
 |-  ( ph -> { C } C_ Y )
131 ssequn2 
 |-  ( { C } C_ Y <-> ( Y u. { C } ) = Y )
132 130 131 sylib 
 |-  ( ph -> ( Y u. { C } ) = Y )
133 129 132 syl5eq 
 |-  ( ph -> ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) = Y )
134 133 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J |`t Y ) )
135 134 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( int ` ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) ) = ( int ` ( J |`t Y ) ) )
136 135 99 fveq12d 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( J |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
137 128 136 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) )
138 108 46 109 10 110 137 limcres 
 |-  ( ph -> ( ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
139 46 resmptd 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
140 139 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
141 138 140 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
142 107 141 eleqtrd 
 |-  ( ph -> L e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
143 10 addcn 
 |-  + e. ( ( J tX J ) Cn J )
144 5 1 2 dvcl 
 |-  ( ( ph /\ C ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
145 8 144 mpdan 
 |-  ( ph -> K e. CC )
146 5 3 4 dvcl 
 |-  ( ( ph /\ C ( S _D G ) L ) -> L e. CC )
147 9 146 mpdan 
 |-  ( ph -> L e. CC )
148 145 147 opelxpd 
 |-  ( ph -> <. K , L >. e. ( CC X. CC ) )
149 56 toponunii 
 |-  ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
150 149 cncnpi 
 |-  ( ( + e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , L >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
151 143 148 150 sylancr 
 |-  ( ph -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , L >. ) )
152 43 53 54 54 10 57 106 142 151 limccnp2 
 |-  ( ph -> ( K + L ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) limCC C ) )
153 eldifi 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) -> z e. ( X i^i Y ) )
154 153 adantl 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. ( X i^i Y ) )
155 1 ffnd 
 |-  ( ph -> F Fn X )
156 155 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> F Fn X )
157 3 ffnd 
 |-  ( ph -> G Fn Y )
158 157 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> G Fn Y )
159 ssexg 
 |-  ( ( X C_ CC /\ CC e. _V ) -> X e. _V )
160 38 78 159 sylancl 
 |-  ( ph -> X e. _V )
161 160 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> X e. _V )
162 ssexg 
 |-  ( ( Y C_ CC /\ CC e. _V ) -> Y e. _V )
163 48 78 162 sylancl 
 |-  ( ph -> Y e. _V )
164 163 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> Y e. _V )
165 eqid 
 |-  ( X i^i Y ) = ( X i^i Y )
166 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
167 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ z e. Y ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
168 156 158 161 164 165 166 167 ofval 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ z e. ( X i^i Y ) ) -> ( ( F oF + G ) ` z ) = ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) )
169 154 168 mpdan 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F oF + G ) ` z ) = ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) )
170 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ C e. X ) -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
171 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ C e. Y ) -> ( G ` C ) = ( G ` C ) )
172 156 158 161 164 165 170 171 ofval 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ C e. ( X i^i Y ) ) -> ( ( F oF + G ) ` C ) = ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) )
173 95 172 mpidan 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F oF + G ) ` C ) = ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) )
174 169 173 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) ) )
175 difss 
 |-  ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X i^i Y )
176 175 34 sstri 
 |-  ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ X
177 176 sseli 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) -> z e. X )
178 ffvelrn 
 |-  ( ( F : X --> CC /\ z e. X ) -> ( F ` z ) e. CC )
179 1 177 178 syl2an 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
180 175 44 sstri 
 |-  ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ Y
181 180 sseli 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) -> z e. Y )
182 ffvelrn 
 |-  ( ( G : Y --> CC /\ z e. Y ) -> ( G ` z ) e. CC )
183 3 181 182 syl2an 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
184 1 41 ffvelrnd 
 |-  ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
185 184 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
186 3 51 ffvelrnd 
 |-  ( ph -> ( G ` C ) e. CC )
187 186 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( G ` C ) e. CC )
188 179 183 185 187 addsub4d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) + ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) + ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
189 174 188 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
190 189 oveq1d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) )
191 179 185 subcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) e. CC )
192 183 187 subcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
193 176 38 sstrid 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ CC )
194 193 sselda 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. CC )
195 38 41 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. CC )
196 195 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> C e. CC )
197 194 196 subcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( z - C ) e. CC )
198 eldifsni 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) -> z =/= C )
199 198 adantl 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z =/= C )
200 194 196 199 subne0d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( z - C ) =/= 0 )
201 191 192 197 200 divdird 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) + ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
202 190 201 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
203 202 mpteq2dva 
 |-  ( ph -> ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) )
204 203 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) ) limCC C ) )
205 152 204 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> ( K + L ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
206 eqid 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
207 addcl 
 |-  ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
208 207 adantl 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
209 208 1 3 160 163 165 off 
 |-  ( ph -> ( F oF + G ) : ( X i^i Y ) --> CC )
210 11 10 206 5 209 62 eldv 
 |-  ( ph -> ( C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) /\ ( K + L ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF + G ) ` z ) - ( ( F oF + G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) ) )
211 33 205 210 mpbir2and 
 |-  ( ph -> C ( S _D ( F oF + G ) ) ( K + L ) )