Theorem dvmptfprodlem

Description: Induction step for dvmptfprod . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	dvmptfprodlem.xph	|- F/ x ph
	dvmptfprodlem.iph	|- F/ i ph
	dvmptfprodlem.jph	|- F/ j ph
	dvmptfprodlem.if	|- F/_ i F
	dvmptfprodlem.jg	|- F/_ j G
	dvmptfprodlem.a	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
	dvmptfprodlem.d	|- ( ph -> D e. Fin )
	dvmptfprodlem.e	|- ( ph -> E e. _V )
	dvmptfprodlem.db	|- ( ph -> -. E e. D )
	dvmptfprodlem.ss	|- ( ph -> ( D u. { E } ) C_ I )
	dvmptfprodlem.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
	dvmptfprodlem.c	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> C e. CC )
	dvmptfprodlem.dvp	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. D A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) ) )
	dvmptfprodlem.14	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> G e. CC )
	dvmptfprodlem.dvf	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> F ) ) = ( x e. X |-> G ) )
	dvmptfprodlem.f	|- ( i = E -> A = F )
	dvmptfprodlem.cg	|- ( j = E -> C = G )
Assertion	dvmptfprodlem	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvmptfprodlem.xph	|- F/ x ph
2		dvmptfprodlem.iph	|- F/ i ph
3		dvmptfprodlem.jph	|- F/ j ph
4		dvmptfprodlem.if	|- F/_ i F
5		dvmptfprodlem.jg	|- F/_ j G
6		dvmptfprodlem.a	|- ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC )
7		dvmptfprodlem.d	|- ( ph -> D e. Fin )
8		dvmptfprodlem.e	|- ( ph -> E e. _V )
9		dvmptfprodlem.db	|- ( ph -> -. E e. D )
10		dvmptfprodlem.ss	|- ( ph -> ( D u. { E } ) C_ I )
11		dvmptfprodlem.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
12		dvmptfprodlem.c	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> C e. CC )
13		dvmptfprodlem.dvp	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. D A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) ) )
14		dvmptfprodlem.14	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> G e. CC )
15		dvmptfprodlem.dvf	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> F ) ) = ( x e. X |-> G ) )
16		dvmptfprodlem.f	|- ( i = E -> A = F )
17		dvmptfprodlem.cg	|- ( j = E -> C = G )
18		nfcv	|- F/_ i x
19		nfcv	|- F/_ i X
20	18 19	nfel	|- F/ i x e. X
21	2 20	nfan	|- F/ i ( ph /\ x e. X )
22	4	a1i	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> F/_ i F )
23		snfi	|- { E } e. Fin
24	23	a1i	|- ( ph -> { E } e. Fin )
25		unfi	|- ( ( D e. Fin /\ { E } e. Fin ) -> ( D u. { E } ) e. Fin )
26	7 24 25	syl2anc	|- ( ph -> ( D u. { E } ) e. Fin )
27	26	adantr	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D u. { E } ) e. Fin )
28		simpll	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> ph )
29	10	sselda	|- ( ( ph /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> i e. I )
30	29	adantlr	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> i e. I )
31		simplr	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> x e. X )
32	28 30 31 6	syl3anc	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D u. { E } ) ) -> A e. CC )
33		snidg	|- ( E e. _V -> E e. { E } )
34	8 33	syl	|- ( ph -> E e. { E } )
35		elun2	|- ( E e. { E } -> E e. ( D u. { E } ) )
36	34 35	syl	|- ( ph -> E e. ( D u. { E } ) )
37	36	adantr	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. ( D u. { E } ) )
38	16	adantl	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F )
39	21 22 27 32 37 38	fprodsplit1f	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D u. { E } ) A = ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) )
40		difundir	|- ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) )
41	40	a1i	|- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) ) )
42		difsn	|- ( -. E e. D -> ( D \ { E } ) = D )
43	9 42	syl	|- ( ph -> ( D \ { E } ) = D )
44		difid	|- ( { E } \ { E } ) = (/)
45	44	a1i	|- ( ph -> ( { E } \ { E } ) = (/) )
46	43 45	uneq12d	|- ( ph -> ( ( D \ { E } ) u. ( { E } \ { E } ) ) = ( D u. (/) ) )
47		un0	|- ( D u. (/) ) = D
48	47	a1i	|- ( ph -> ( D u. (/) ) = D )
49	41 46 48	3eqtrd	|- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) = D )
50	49	prodeq1d	|- ( ph -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A = prod_ i e. D A )
51	50	oveq2d	|- ( ph -> ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( F x. prod_ i e. D A ) )
52	51	adantr	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( F x. prod_ i e. D A ) )
53	39 52	eqtrd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D u. { E } ) A = ( F x. prod_ i e. D A ) )
54	1 53	mpteq2da	|- ( ph -> ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) = ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) )
55	54	oveq2d	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( S _D ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) ) )
56	10 36	sseldd	|- ( ph -> E e. I )
57	56	adantr	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. I )
58		simpl	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ph )
59		simpr	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
60	58 57 59	3jca	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) )
61		nfcv	|- F/_ i E
62		nfv	|- F/ i E e. I
63	2 62 20	nf3an	|- F/ i ( ph /\ E e. I /\ x e. X )
64		nfcv	|- F/_ i CC
65	4 64	nfel	|- F/ i F e. CC
66	63 65	nfim	|- F/ i ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC )
67		ancom	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) <-> ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) )
68	67	imbi1i	|- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> A = F ) )
69		eqcom	|- ( A = F <-> F = A )
70	69	imbi2i	|- ( ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A ) )
71	68 70	bitri	|- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i = E ) -> A = F ) <-> ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A ) )
72	38 71	mpbi	|- ( ( i = E /\ ( ph /\ x e. X ) ) -> F = A )
73	72	3adantr2	|- ( ( i = E /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F = A )
74	73	3adant2	|- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F = A )
75		simp3	|- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) )
76		eleq1	|- ( i = E -> ( i e. I <-> E e. I ) )
77	76	3anbi2d	|- ( i = E -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) <-> ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) )
78	77	imbi1d	|- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) )
79	78	biimpa	|- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) )
80	79	3adant3	|- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) )
81	75 80	mpd	|- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> A e. CC )
82	74 81	eqeltrd	|- ( ( i = E /\ ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) /\ ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) ) -> F e. CC )
83	82	3exp	|- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) ) )
84	6	2a1i	|- ( i = E -> ( ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) -> ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) ) )
85	83 84	impbid	|- ( i = E -> ( ( ( ph /\ i e. I /\ x e. X ) -> A e. CC ) <-> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) ) )
86	61 66 85 6	vtoclgf	|- ( E e. I -> ( ( ph /\ E e. I /\ x e. X ) -> F e. CC ) )
87	57 60 86	sylc	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> F e. CC )
88	58 7	syl	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> D e. Fin )
89	58	adantr	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> ph )
90	10	adantr	|- ( ( ph /\ i e. D ) -> ( D u. { E } ) C_ I )
91		elun1	|- ( i e. D -> i e. ( D u. { E } ) )
92	91	adantl	|- ( ( ph /\ i e. D ) -> i e. ( D u. { E } ) )
93	90 92	sseldd	|- ( ( ph /\ i e. D ) -> i e. I )
94	93	adantlr	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> i e. I )
95	59	adantr	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> x e. X )
96	89 94 95 6	syl3anc	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. D ) -> A e. CC )
97	21 88 96	fprodclf	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. D A e. CC )
98		nfv	|- F/ j x e. X
99	3 98	nfan	|- F/ j ( ph /\ x e. X )
100		diffi	|- ( D e. Fin -> ( D \ { j } ) e. Fin )
101	7 100	syl	|- ( ph -> ( D \ { j } ) e. Fin )
102	101	adantr	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( D \ { j } ) e. Fin )
103		eldifi	|- ( i e. ( D \ { j } ) -> i e. D )
104	103	adantl	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> i e. D )
105	104 96	syldan	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> A e. CC )
106	21 102 105	fprodclf	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( D \ { j } ) A e. CC )
107	106	adantr	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( D \ { j } ) A e. CC )
108	12 107	mulcld	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) e. CC )
109	99 88 108	fsumclf	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) e. CC )
110	1 11 87 14 15 97 109 13	dvmptmulf	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> ( F x. prod_ i e. D A ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) ) )
111		nfcv	|- F/_ j x.
112		nfcv	|- F/_ j prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A
113	5 111 112	nfov	|- F/_ j ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A )
114	58 8	syl	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> E e. _V )
115	58 9	syl	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> -. E e. D )
116		diffi	|- ( ( D u. { E } ) e. Fin -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin )
117	26 116	syl	|- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin )
118	117	adantr	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) e. Fin )
119		eldifi	|- ( i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) -> i e. ( D u. { E } ) )
120	119	adantl	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) ) -> i e. ( D u. { E } ) )
121	120 32	syldan	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) ) -> A e. CC )
122	21 118 121	fprodclf	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A e. CC )
123	122	adantr	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A e. CC )
124	12 123	mulcld	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) e. CC )
125		sneq	|- ( j = E -> { j } = { E } )
126	125	difeq2d	|- ( j = E -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D u. { E } ) \ { E } ) )
127	126	prodeq1d	|- ( j = E -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A )
128	17 127	oveq12d	|- ( j = E -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) )
129	49 7	eqeltrd	|- ( ph -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) e. Fin )
130	129	adantr	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( D u. { E } ) \ { E } ) e. Fin )
131	58	adantr	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> ph )
132	10	adantr	|- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> ( D u. { E } ) C_ I )
133		eldifi	|- ( i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) -> i e. ( D u. { E } ) )
134	133	adantl	|- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. ( D u. { E } ) )
135	132 134	sseldd	|- ( ( ph /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. I )
136	135	adantlr	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> i e. I )
137	59	adantr	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> x e. X )
138	131 136 137 6	syl3anc	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) ) -> A e. CC )
139	21 130 138	fprodclf	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A e. CC )
140	14 139	mulcld	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) e. CC )
141	99 113 88 114 115 124 128 140	fsumsplitsn	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) + ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) ) )
142		difundir	|- ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) )
143	142	a1i	|- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) ) )
144		nfv	|- F/ x j e. D
145	1 144	nfan	|- F/ x ( ph /\ j e. D )
146		elsni	|- ( x e. { E } -> x = E )
147	146	eqcomd	|- ( x e. { E } -> E = x )
148	147	adantr	|- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> E = x )
149		simpr	|- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> x = j )
150		eqidd	|- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> j = j )
151	148 149 150	3eqtrd	|- ( ( x e. { E } /\ x = j ) -> E = j )
152	151	adantll	|- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> E = j )
153		simpllr	|- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> j e. D )
154	152 153	eqeltrd	|- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> E e. D )
155	9	ad3antrrr	|- ( ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) /\ x = j ) -> -. E e. D )
156	154 155	pm2.65da	|- ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) -> -. x = j )
157		velsn	|- ( x e. { j } <-> x = j )
158	156 157	sylnibr	|- ( ( ( ph /\ j e. D ) /\ x e. { E } ) -> -. x e. { j } )
159	158	ex	|- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( x e. { E } -> -. x e. { j } ) )
160	145 159	ralrimi	|- ( ( ph /\ j e. D ) -> A. x e. { E } -. x e. { j } )
161		disj	|- ( ( { E } i^i { j } ) = (/) <-> A. x e. { E } -. x e. { j } )
162	160 161	sylibr	|- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( { E } i^i { j } ) = (/) )
163		disjdif2	|- ( ( { E } i^i { j } ) = (/) -> ( { E } \ { j } ) = { E } )
164	162 163	syl	|- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( { E } \ { j } ) = { E } )
165	164	uneq2d	|- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D \ { j } ) u. ( { E } \ { j } ) ) = ( ( D \ { j } ) u. { E } ) )
166	143 165	eqtrd	|- ( ( ph /\ j e. D ) -> ( ( D u. { E } ) \ { j } ) = ( ( D \ { j } ) u. { E } ) )
167	166	prodeq1d	|- ( ( ph /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A )
168	167	adantlr	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A )
169		nfv	|- F/ i j e. D
170	21 169	nfan	|- F/ i ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D )
171	102	adantr	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( D \ { j } ) e. Fin )
172	58	adantr	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ph )
173	172 8	syl	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> E e. _V )
174		id	|- ( -. E e. D -> -. E e. D )
175	174	intnanrd	|- ( -. E e. D -> -. ( E e. D /\ -. E e. { j } ) )
176	174 175	syl	|- ( -. E e. D -> -. ( E e. D /\ -. E e. { j } ) )
177		eldif	|- ( E e. ( D \ { j } ) <-> ( E e. D /\ -. E e. { j } ) )
178	176 177	sylnibr	|- ( -. E e. D -> -. E e. ( D \ { j } ) )
179	9 178	syl	|- ( ph -> -. E e. ( D \ { j } ) )
180	172 179	syl	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> -. E e. ( D \ { j } ) )
181	105	adantlr	|- ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) /\ i e. ( D \ { j } ) ) -> A e. CC )
182	87	adantr	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> F e. CC )
183	170 4 171 173 180 181 16 182	fprodsplitsn	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D \ { j } ) u. { E } ) A = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) )
184		eqidd	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) )
185	168 183 184	3eqtrd	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A = ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) )
186	185	oveq2d	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) )
187	12 107 182	mulassd	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) )
188	187	eqcomd	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. ( prod_ i e. ( D \ { j } ) A x. F ) ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
189	186 188	eqtrd	|- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ j e. D ) -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
190	189	ex	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( j e. D -> ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) )
191	99 190	ralrimi	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
192	191	sumeq2d	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
193	99 88 87 108	fsummulc1f	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
194	193	eqcomd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
195		eqidd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
196	192 194 195	3eqtrd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) = ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) )
197	109 87	mulcld	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) e. CC )
198	196 197	eqeltrd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) e. CC )
199	198 140	addcomd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) + ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) ) = ( ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) + sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )
200	50	oveq2d	|- ( ph -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( G x. prod_ i e. D A ) )
201	200	adantr	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) = ( G x. prod_ i e. D A ) )
202	201 196	oveq12d	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( G x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { E } ) A ) + sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) = ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) )
203	141 199 202	3eqtrrd	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) = sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) )
204	1 203	mpteq2da	|- ( ph -> ( x e. X |-> ( ( G x. prod_ i e. D A ) + ( sum_ j e. D ( C x. prod_ i e. ( D \ { j } ) A ) x. F ) ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )
205	55 110 204	3eqtrd	|- ( ph -> ( S _D ( x e. X |-> prod_ i e. ( D u. { E } ) A ) ) = ( x e. X |-> sum_ j e. ( D u. { E } ) ( C x. prod_ i e. ( ( D u. { E } ) \ { j } ) A ) ) )