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Theorem dvmulbrOLD

Description: Obsolete version of dvmulbr as of 10-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses dvadd.f 
|- ( ph -> F : X --> CC )
dvadd.x 
|- ( ph -> X C_ S )
dvadd.g 
|- ( ph -> G : Y --> CC )
dvadd.y 
|- ( ph -> Y C_ S )
dvaddbr.s 
|- ( ph -> S C_ CC )
dvadd.bf 
|- ( ph -> C ( S _D F ) K )
dvadd.bg 
|- ( ph -> C ( S _D G ) L )
dvadd.j 
|- J = ( TopOpen ` CCfld )
Assertion dvmulbrOLD 
|- ( ph -> C ( S _D ( F oF x. G ) ) ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dvadd.f 
 |-  ( ph -> F : X --> CC )
2 dvadd.x 
 |-  ( ph -> X C_ S )
3 dvadd.g 
 |-  ( ph -> G : Y --> CC )
4 dvadd.y 
 |-  ( ph -> Y C_ S )
5 dvaddbr.s 
 |-  ( ph -> S C_ CC )
6 dvadd.bf 
 |-  ( ph -> C ( S _D F ) K )
7 dvadd.bg 
 |-  ( ph -> C ( S _D G ) L )
8 dvadd.j 
 |-  J = ( TopOpen ` CCfld )
9 eqid 
 |-  ( J |`t S ) = ( J |`t S )
10 eqid 
 |-  ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) )
11 9 8 10 5 1 2 eldv 
 |-  ( ph -> ( C ( S _D F ) K <-> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) ) )
12 6 11 mpbid 
 |-  ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) /\ K e. ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) )
13 12 simpld 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) )
14 eqid 
 |-  ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) )
15 9 8 14 5 3 4 eldv 
 |-  ( ph -> ( C ( S _D G ) L <-> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) ) )
16 7 15 mpbid 
 |-  ( ph -> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) /\ L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) )
17 16 simpld 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) )
18 13 17 elind 
 |-  ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) ) )
19 8 cnfldtopon 
 |-  J e. ( TopOn ` CC )
20 resttopon 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( J |`t S ) e. ( TopOn ` S ) )
21 19 5 20 sylancr 
 |-  ( ph -> ( J |`t S ) e. ( TopOn ` S ) )
22 topontop 
 |-  ( ( J |`t S ) e. ( TopOn ` S ) -> ( J |`t S ) e. Top )
23 21 22 syl 
 |-  ( ph -> ( J |`t S ) e. Top )
24 toponuni 
 |-  ( ( J |`t S ) e. ( TopOn ` S ) -> S = U. ( J |`t S ) )
25 21 24 syl 
 |-  ( ph -> S = U. ( J |`t S ) )
26 2 25 sseqtrd 
 |-  ( ph -> X C_ U. ( J |`t S ) )
27 4 25 sseqtrd 
 |-  ( ph -> Y C_ U. ( J |`t S ) )
28 eqid 
 |-  U. ( J |`t S ) = U. ( J |`t S )
29 28 ntrin 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J |`t S ) /\ Y C_ U. ( J |`t S ) ) -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) ) )
30 23 26 27 29 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` X ) i^i ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` Y ) ) )
31 18 30 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
32 1 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> F : X --> CC )
33 inss1 
 |-  ( X i^i Y ) C_ X
34 eldifi 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) -> z e. ( X i^i Y ) )
35 34 adantl 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. ( X i^i Y ) )
36 33 35 sselid 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. X )
37 32 36 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
38 5 1 2 dvbss 
 |-  ( ph -> dom ( S _D F ) C_ X )
39 reldv 
 |-  Rel ( S _D F )
40 releldm 
 |-  ( ( Rel ( S _D F ) /\ C ( S _D F ) K ) -> C e. dom ( S _D F ) )
41 39 6 40 sylancr 
 |-  ( ph -> C e. dom ( S _D F ) )
42 38 41 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. X )
43 1 42 ffvelcdmd 
 |-  ( ph -> ( F ` C ) e. CC )
44 43 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
45 37 44 subcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) e. CC )
46 2 5 sstrd 
 |-  ( ph -> X C_ CC )
47 46 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> X C_ CC )
48 47 36 sseldd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. CC )
49 46 42 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. CC )
50 49 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> C e. CC )
51 48 50 subcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( z - C ) e. CC )
52 eldifsni 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) -> z =/= C )
53 52 adantl 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z =/= C )
54 48 50 53 subne0d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( z - C ) =/= 0 )
55 45 51 54 divcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
56 3 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> G : Y --> CC )
57 inss2 
 |-  ( X i^i Y ) C_ Y
58 57 35 sselid 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. Y )
59 56 58 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
60 55 59 mulcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
61 ssdif 
 |-  ( ( X i^i Y ) C_ Y -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( Y \ { C } ) )
62 57 61 mp1i 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( Y \ { C } ) )
63 62 sselda 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> z e. ( Y \ { C } ) )
64 4 5 sstrd 
 |-  ( ph -> Y C_ CC )
65 5 3 4 dvbss 
 |-  ( ph -> dom ( S _D G ) C_ Y )
66 reldv 
 |-  Rel ( S _D G )
67 releldm 
 |-  ( ( Rel ( S _D G ) /\ C ( S _D G ) L ) -> C e. dom ( S _D G ) )
68 66 7 67 sylancr 
 |-  ( ph -> C e. dom ( S _D G ) )
69 65 68 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. Y )
70 3 64 69 dvlem 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( Y \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
71 63 70 syldan 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
72 71 44 mulcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) e. CC )
73 ssidd 
 |-  ( ph -> CC C_ CC )
74 txtopon 
 |-  ( ( J e. ( TopOn ` CC ) /\ J e. ( TopOn ` CC ) ) -> ( J tX J ) e. ( TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
75 19 19 74 mp2an 
 |-  ( J tX J ) e. ( TopOn ` ( CC X. CC ) )
76 75 toponrestid 
 |-  ( J tX J ) = ( ( J tX J ) |`t ( CC X. CC ) )
77 12 simprd 
 |-  ( ph -> K e. ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
78 1 46 42 dvlem 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) e. CC )
79 78 fmpttd 
 |-  ( ph -> ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) : ( X \ { C } ) --> CC )
80 ssdif 
 |-  ( ( X i^i Y ) C_ X -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X \ { C } ) )
81 33 80 mp1i 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X \ { C } ) )
82 46 ssdifssd 
 |-  ( ph -> ( X \ { C } ) C_ CC )
83 eqid 
 |-  ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) )
84 33 2 sstrid 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ S )
85 84 25 sseqtrd 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ U. ( J |`t S ) )
86 difssd 
 |-  ( ph -> ( U. ( J |`t S ) \ X ) C_ U. ( J |`t S ) )
87 85 86 unssd 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) C_ U. ( J |`t S ) )
88 ssun1 
 |-  ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) )
89 88 a1i 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) )
90 28 ntrss 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) C_ U. ( J |`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) )
91 23 87 89 90 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) )
92 91 31 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) )
93 92 42 elind 
 |-  ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) )
94 33 a1i 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ X )
95 eqid 
 |-  ( ( J |`t S ) |`t X ) = ( ( J |`t S ) |`t X )
96 28 95 restntr 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ X C_ U. ( J |`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ X ) -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) )
97 23 26 94 96 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) )
98 8 cnfldtop 
 |-  J e. Top
99 98 a1i 
 |-  ( ph -> J e. Top )
100 cnex 
 |-  CC e. _V
101 ssexg 
 |-  ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
102 5 100 101 sylancl 
 |-  ( ph -> S e. _V )
103 restabs 
 |-  ( ( J e. Top /\ X C_ S /\ S e. _V ) -> ( ( J |`t S ) |`t X ) = ( J |`t X ) )
104 99 2 102 103 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( J |`t S ) |`t X ) = ( J |`t X ) )
105 104 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( int ` ( ( J |`t S ) |`t X ) ) = ( int ` ( J |`t X ) ) )
106 105 fveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( int ` ( J |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
107 97 106 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ X ) ) ) i^i X ) = ( ( int ` ( J |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
108 93 107 eleqtrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
109 undif1 
 |-  ( ( X \ { C } ) u. { C } ) = ( X u. { C } )
110 42 snssd 
 |-  ( ph -> { C } C_ X )
111 ssequn2 
 |-  ( { C } C_ X <-> ( X u. { C } ) = X )
112 110 111 sylib 
 |-  ( ph -> ( X u. { C } ) = X )
113 109 112 eqtrid 
 |-  ( ph -> ( ( X \ { C } ) u. { C } ) = X )
114 113 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J |`t X ) )
115 114 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( int ` ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) ) = ( int ` ( J |`t X ) ) )
116 undif1 
 |-  ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) = ( ( X i^i Y ) u. { C } )
117 42 69 elind 
 |-  ( ph -> C e. ( X i^i Y ) )
118 117 snssd 
 |-  ( ph -> { C } C_ ( X i^i Y ) )
119 ssequn2 
 |-  ( { C } C_ ( X i^i Y ) <-> ( ( X i^i Y ) u. { C } ) = ( X i^i Y ) )
120 118 119 sylib 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) u. { C } ) = ( X i^i Y ) )
121 116 120 eqtrid 
 |-  ( ph -> ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) = ( X i^i Y ) )
122 115 121 fveq12d 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( J |`t X ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
123 108 122 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t ( ( X \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) )
124 79 81 82 8 83 123 limcres 
 |-  ( ph -> ( ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
125 81 resmptd 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
126 125 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
127 124 126 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( X \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
128 77 127 eleqtrd 
 |-  ( ph -> K e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
129 eqid 
 |-  ( J |`t Y ) = ( J |`t Y )
130 129 8 dvcnp2 
 |-  ( ( ( S C_ CC /\ G : Y --> CC /\ Y C_ S ) /\ C e. dom ( S _D G ) ) -> G e. ( ( ( J |`t Y ) CnP J ) ` C ) )
131 5 3 4 68 130 syl31anc 
 |-  ( ph -> G e. ( ( ( J |`t Y ) CnP J ) ` C ) )
132 8 129 cnplimc 
 |-  ( ( Y C_ CC /\ C e. Y ) -> ( G e. ( ( ( J |`t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G limCC C ) ) ) )
133 64 69 132 syl2anc 
 |-  ( ph -> ( G e. ( ( ( J |`t Y ) CnP J ) ` C ) <-> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G limCC C ) ) ) )
134 131 133 mpbid 
 |-  ( ph -> ( G : Y --> CC /\ ( G ` C ) e. ( G limCC C ) ) )
135 134 simprd 
 |-  ( ph -> ( G ` C ) e. ( G limCC C ) )
136 difss 
 |-  ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X i^i Y )
137 136 57 sstri 
 |-  ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ Y
138 137 a1i 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ Y )
139 eqid 
 |-  ( J |`t ( Y u. { C } ) ) = ( J |`t ( Y u. { C } ) )
140 difssd 
 |-  ( ph -> ( U. ( J |`t S ) \ Y ) C_ U. ( J |`t S ) )
141 85 140 unssd 
 |-  ( ph -> ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) C_ U. ( J |`t S ) )
142 ssun1 
 |-  ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) )
143 142 a1i 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) )
144 28 ntrss 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) C_ U. ( J |`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) )
145 23 141 143 144 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) C_ ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) )
146 145 31 sseldd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) )
147 146 69 elind 
 |-  ( ph -> C e. ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) )
148 57 a1i 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ Y )
149 eqid 
 |-  ( ( J |`t S ) |`t Y ) = ( ( J |`t S ) |`t Y )
150 28 149 restntr 
 |-  ( ( ( J |`t S ) e. Top /\ Y C_ U. ( J |`t S ) /\ ( X i^i Y ) C_ Y ) -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) )
151 23 27 148 150 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) )
152 restabs 
 |-  ( ( J e. Top /\ Y C_ S /\ S e. _V ) -> ( ( J |`t S ) |`t Y ) = ( J |`t Y ) )
153 99 4 102 152 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( ( J |`t S ) |`t Y ) = ( J |`t Y ) )
154 153 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( int ` ( ( J |`t S ) |`t Y ) ) = ( int ` ( J |`t Y ) ) )
155 154 fveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( ( J |`t S ) |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) = ( ( int ` ( J |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
156 151 155 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( ( X i^i Y ) u. ( U. ( J |`t S ) \ Y ) ) ) i^i Y ) = ( ( int ` ( J |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
157 147 156 eleqtrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
158 69 snssd 
 |-  ( ph -> { C } C_ Y )
159 ssequn2 
 |-  ( { C } C_ Y <-> ( Y u. { C } ) = Y )
160 158 159 sylib 
 |-  ( ph -> ( Y u. { C } ) = Y )
161 160 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( J |`t ( Y u. { C } ) ) = ( J |`t Y ) )
162 161 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( int ` ( J |`t ( Y u. { C } ) ) ) = ( int ` ( J |`t Y ) ) )
163 162 121 fveq12d 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t ( Y u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( J |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
164 157 163 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t ( Y u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) )
165 3 138 64 8 139 164 limcres 
 |-  ( ph -> ( ( G |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( G limCC C ) )
166 3 138 feqresmpt 
 |-  ( ph -> ( G |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) )
167 166 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( G |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) limCC C ) )
168 165 167 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( G limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) limCC C ) )
169 135 168 eleqtrd 
 |-  ( ph -> ( G ` C ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( G ` z ) ) limCC C ) )
170 8 mulcn 
 |-  x. e. ( ( J tX J ) Cn J )
171 5 1 2 dvcl 
 |-  ( ( ph /\ C ( S _D F ) K ) -> K e. CC )
172 6 171 mpdan 
 |-  ( ph -> K e. CC )
173 3 69 ffvelcdmd 
 |-  ( ph -> ( G ` C ) e. CC )
174 172 173 opelxpd 
 |-  ( ph -> <. K , ( G ` C ) >. e. ( CC X. CC ) )
175 75 toponunii 
 |-  ( CC X. CC ) = U. ( J tX J )
176 175 cncnpi 
 |-  ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. K , ( G ` C ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , ( G ` C ) >. ) )
177 170 174 176 sylancr 
 |-  ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. K , ( G ` C ) >. ) )
178 55 59 73 73 8 76 128 169 177 limccnp2 
 |-  ( ph -> ( K x. ( G ` C ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) ) limCC C ) )
179 16 simprd 
 |-  ( ph -> L e. ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
180 70 fmpttd 
 |-  ( ph -> ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) : ( Y \ { C } ) --> CC )
181 64 ssdifssd 
 |-  ( ph -> ( Y \ { C } ) C_ CC )
182 eqid 
 |-  ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) )
183 undif1 
 |-  ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) = ( Y u. { C } )
184 183 160 eqtrid 
 |-  ( ph -> ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) = Y )
185 184 oveq2d 
 |-  ( ph -> ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) = ( J |`t Y ) )
186 185 fveq2d 
 |-  ( ph -> ( int ` ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) ) = ( int ` ( J |`t Y ) ) )
187 186 121 fveq12d 
 |-  ( ph -> ( ( int ` ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) = ( ( int ` ( J |`t Y ) ) ` ( X i^i Y ) ) )
188 157 187 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> C e. ( ( int ` ( J |`t ( ( Y \ { C } ) u. { C } ) ) ) ` ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) u. { C } ) ) )
189 180 62 181 8 182 188 limcres 
 |-  ( ph -> ( ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
190 62 resmptd 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
191 190 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
192 189 191 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( Y \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
193 179 192 eleqtrd 
 |-  ( ph -> L e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
194 84 5 sstrd 
 |-  ( ph -> ( X i^i Y ) C_ CC )
195 cncfmptc 
 |-  ( ( ( F ` C ) e. CC /\ ( X i^i Y ) C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) e. ( ( X i^i Y ) -cn-> CC ) )
196 43 194 73 195 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) e. ( ( X i^i Y ) -cn-> CC ) )
197 eqidd 
 |-  ( z = C -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
198 196 117 197 cnmptlimc 
 |-  ( ph -> ( F ` C ) e. ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) limCC C ) )
199 43 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( X i^i Y ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
200 199 fmpttd 
 |-  ( ph -> ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) : ( X i^i Y ) --> CC )
201 200 limcdif 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) limCC C ) = ( ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) )
202 resmpt 
 |-  ( ( ( X i^i Y ) \ { C } ) C_ ( X i^i Y ) -> ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( F ` C ) ) )
203 136 202 mp1i 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( F ` C ) ) )
204 203 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) |` ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( F ` C ) ) limCC C ) )
205 201 204 eqtrd 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( X i^i Y ) |-> ( F ` C ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( F ` C ) ) limCC C ) )
206 198 205 eleqtrd 
 |-  ( ph -> ( F ` C ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( F ` C ) ) limCC C ) )
207 5 3 4 dvcl 
 |-  ( ( ph /\ C ( S _D G ) L ) -> L e. CC )
208 7 207 mpdan 
 |-  ( ph -> L e. CC )
209 208 43 opelxpd 
 |-  ( ph -> <. L , ( F ` C ) >. e. ( CC X. CC ) )
210 175 cncnpi 
 |-  ( ( x. e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. L , ( F ` C ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. L , ( F ` C ) >. ) )
211 170 209 210 sylancr 
 |-  ( ph -> x. e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. L , ( F ` C ) >. ) )
212 71 44 73 73 8 76 193 206 211 limccnp2 
 |-  ( ph -> ( L x. ( F ` C ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) limCC C ) )
213 8 addcn 
 |-  + e. ( ( J tX J ) Cn J )
214 172 173 mulcld 
 |-  ( ph -> ( K x. ( G ` C ) ) e. CC )
215 208 43 mulcld 
 |-  ( ph -> ( L x. ( F ` C ) ) e. CC )
216 214 215 opelxpd 
 |-  ( ph -> <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. e. ( CC X. CC ) )
217 175 cncnpi 
 |-  ( ( + e. ( ( J tX J ) Cn J ) /\ <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. ) )
218 213 216 217 sylancr 
 |-  ( ph -> + e. ( ( ( J tX J ) CnP J ) ` <. ( K x. ( G ` C ) ) , ( L x. ( F ` C ) ) >. ) )
219 60 72 73 73 8 76 178 212 218 limccnp2 
 |-  ( ph -> ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) limCC C ) )
220 42 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> C e. X )
221 32 220 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( F ` C ) e. CC )
222 37 221 subcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) e. CC )
223 222 59 mulcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
224 69 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> C e. Y )
225 56 224 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( G ` C ) e. CC )
226 59 225 subcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) e. CC )
227 226 221 mulcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) e. CC )
228 47 220 sseldd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> C e. CC )
229 48 228 subcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( z - C ) e. CC )
230 223 227 229 54 divdird 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) )
231 37 59 mulcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
232 221 59 mulcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) e. CC )
233 221 225 mulcld 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) e. CC )
234 231 232 233 npncand 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) ) + ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
235 37 221 59 subdird 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) ) )
236 226 221 mulcomd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) = ( ( F ` C ) x. ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) )
237 221 59 225 subdid 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F ` C ) x. ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) ) = ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
238 236 237 eqtrd 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) = ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
239 235 238 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) = ( ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) ) + ( ( ( F ` C ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) ) )
240 1 ffnd 
 |-  ( ph -> F Fn X )
241 240 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> F Fn X )
242 3 ffnd 
 |-  ( ph -> G Fn Y )
243 242 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> G Fn Y )
244 ssexg 
 |-  ( ( X C_ CC /\ CC e. _V ) -> X e. _V )
245 46 100 244 sylancl 
 |-  ( ph -> X e. _V )
246 245 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> X e. _V )
247 ssexg 
 |-  ( ( Y C_ CC /\ CC e. _V ) -> Y e. _V )
248 64 100 247 sylancl 
 |-  ( ph -> Y e. _V )
249 248 adantr 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> Y e. _V )
250 eqid 
 |-  ( X i^i Y ) = ( X i^i Y )
251 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ z e. X ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
252 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ z e. Y ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
253 241 243 246 249 250 251 252 ofval 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ z e. ( X i^i Y ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
254 35 253 mpdan 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` z ) = ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) )
255 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ C e. X ) -> ( F ` C ) = ( F ` C ) )
256 eqidd 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ C e. Y ) -> ( G ` C ) = ( G ` C ) )
257 241 243 246 249 250 255 256 ofval 
 |-  ( ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) /\ C e. ( X i^i Y ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` C ) = ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) )
258 117 257 mpidan 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( F oF x. G ) ` C ) = ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) )
259 254 258 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) = ( ( ( F ` z ) x. ( G ` z ) ) - ( ( F ` C ) x. ( G ` C ) ) ) )
260 234 239 259 3eqtr4d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) = ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) )
261 260 oveq1d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
262 222 59 229 54 div23d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) )
263 226 221 229 54 div23d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) )
264 262 263 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) x. ( G ` z ) ) / ( z - C ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) x. ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) )
265 230 261 264 3eqtr3d 
 |-  ( ( ph /\ z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) ) -> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) = ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) )
266 265 mpteq2dva 
 |-  ( ph -> ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) )
267 266 oveq1d 
 |-  ( ph -> ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) = ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( G ` z ) ) + ( ( ( ( G ` z ) - ( G ` C ) ) / ( z - C ) ) x. ( F ` C ) ) ) ) limCC C ) )
268 219 267 eleqtrrd 
 |-  ( ph -> ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) )
269 eqid 
 |-  ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) = ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) )
270 mulcl 
 |-  ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x x. y ) e. CC )
271 270 adantl 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x x. y ) e. CC )
272 271 1 3 245 248 250 off 
 |-  ( ph -> ( F oF x. G ) : ( X i^i Y ) --> CC )
273 9 8 269 5 272 84 eldv 
 |-  ( ph -> ( C ( S _D ( F oF x. G ) ) ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) <-> ( C e. ( ( int ` ( J |`t S ) ) ` ( X i^i Y ) ) /\ ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) e. ( ( z e. ( ( X i^i Y ) \ { C } ) |-> ( ( ( ( F oF x. G ) ` z ) - ( ( F oF x. G ) ` C ) ) / ( z - C ) ) ) limCC C ) ) ) )
274 31 268 273 mpbir2and 
 |-  ( ph -> C ( S _D ( F oF x. G ) ) ( ( K x. ( G ` C ) ) + ( L x. ( F ` C ) ) ) )