Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dvnprodlem1.c |
|- C = ( s e. ~P T |-> ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m s ) | sum_ t e. s ( c ` t ) = n } ) ) |
2 |
|
dvnprodlem1.j |
|- ( ph -> J e. NN0 ) |
3 |
|
dvnprodlem1.d |
|- D = ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) |-> <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. ) |
4 |
|
dvnprodlem1.t |
|- ( ph -> T e. Fin ) |
5 |
|
dvnprodlem1.z |
|- ( ph -> Z e. T ) |
6 |
|
dvnprodlem1.zr |
|- ( ph -> -. Z e. R ) |
7 |
|
dvnprodlem1.rzt |
|- ( ph -> ( R u. { Z } ) C_ T ) |
8 |
|
eqidd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. = <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. ) |
9 |
|
0zd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> 0 e. ZZ ) |
10 |
2
|
nn0zd |
|- ( ph -> J e. ZZ ) |
11 |
10
|
adantr |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> J e. ZZ ) |
12 |
|
fzssz |
|- ( 0 ... J ) C_ ZZ |
13 |
12
|
a1i |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( 0 ... J ) C_ ZZ ) |
14 |
|
oveq2 |
|- ( s = ( R u. { Z } ) -> ( ( 0 ... n ) ^m s ) = ( ( 0 ... n ) ^m ( R u. { Z } ) ) ) |
15 |
|
rabeq |
|- ( ( ( 0 ... n ) ^m s ) = ( ( 0 ... n ) ^m ( R u. { Z } ) ) -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m s ) | sum_ t e. s ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. s ( c ` t ) = n } ) |
16 |
14 15
|
syl |
|- ( s = ( R u. { Z } ) -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m s ) | sum_ t e. s ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. s ( c ` t ) = n } ) |
17 |
|
sumeq1 |
|- ( s = ( R u. { Z } ) -> sum_ t e. s ( c ` t ) = sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) ) |
18 |
17
|
eqeq1d |
|- ( s = ( R u. { Z } ) -> ( sum_ t e. s ( c ` t ) = n <-> sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = n ) ) |
19 |
18
|
rabbidv |
|- ( s = ( R u. { Z } ) -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. s ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = n } ) |
20 |
16 19
|
eqtrd |
|- ( s = ( R u. { Z } ) -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m s ) | sum_ t e. s ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = n } ) |
21 |
20
|
mpteq2dv |
|- ( s = ( R u. { Z } ) -> ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m s ) | sum_ t e. s ( c ` t ) = n } ) = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = n } ) ) |
22 |
|
ssexg |
|- ( ( ( R u. { Z } ) C_ T /\ T e. Fin ) -> ( R u. { Z } ) e. _V ) |
23 |
7 4 22
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( R u. { Z } ) e. _V ) |
24 |
|
elpwg |
|- ( ( R u. { Z } ) e. _V -> ( ( R u. { Z } ) e. ~P T <-> ( R u. { Z } ) C_ T ) ) |
25 |
23 24
|
syl |
|- ( ph -> ( ( R u. { Z } ) e. ~P T <-> ( R u. { Z } ) C_ T ) ) |
26 |
7 25
|
mpbird |
|- ( ph -> ( R u. { Z } ) e. ~P T ) |
27 |
|
nn0ex |
|- NN0 e. _V |
28 |
27
|
mptex |
|- ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = n } ) e. _V |
29 |
28
|
a1i |
|- ( ph -> ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = n } ) e. _V ) |
30 |
1 21 26 29
|
fvmptd3 |
|- ( ph -> ( C ` ( R u. { Z } ) ) = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = n } ) ) |
31 |
|
oveq2 |
|- ( n = J -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... J ) ) |
32 |
31
|
oveq1d |
|- ( n = J -> ( ( 0 ... n ) ^m ( R u. { Z } ) ) = ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) ) |
33 |
|
rabeq |
|- ( ( ( 0 ... n ) ^m ( R u. { Z } ) ) = ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = n } ) |
34 |
32 33
|
syl |
|- ( n = J -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = n } ) |
35 |
|
eqeq2 |
|- ( n = J -> ( sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = n <-> sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J ) ) |
36 |
35
|
rabbidv |
|- ( n = J -> { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } ) |
37 |
34 36
|
eqtrd |
|- ( n = J -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } ) |
38 |
37
|
adantl |
|- ( ( ph /\ n = J ) -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } ) |
39 |
|
ovex |
|- ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) e. _V |
40 |
39
|
rabex |
|- { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } e. _V |
41 |
40
|
a1i |
|- ( ph -> { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } e. _V ) |
42 |
30 38 2 41
|
fvmptd |
|- ( ph -> ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) = { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } ) |
43 |
|
ssrab2 |
|- { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } C_ ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) |
44 |
43
|
a1i |
|- ( ph -> { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } C_ ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) ) |
45 |
42 44
|
eqsstrd |
|- ( ph -> ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) C_ ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) ) |
46 |
45
|
adantr |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) C_ ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) ) |
47 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) |
48 |
46 47
|
sseldd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) ) |
49 |
|
elmapi |
|- ( c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) -> c : ( R u. { Z } ) --> ( 0 ... J ) ) |
50 |
48 49
|
syl |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> c : ( R u. { Z } ) --> ( 0 ... J ) ) |
51 |
|
snidg |
|- ( Z e. T -> Z e. { Z } ) |
52 |
5 51
|
syl |
|- ( ph -> Z e. { Z } ) |
53 |
|
elun2 |
|- ( Z e. { Z } -> Z e. ( R u. { Z } ) ) |
54 |
52 53
|
syl |
|- ( ph -> Z e. ( R u. { Z } ) ) |
55 |
54
|
adantr |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> Z e. ( R u. { Z } ) ) |
56 |
50 55
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( c ` Z ) e. ( 0 ... J ) ) |
57 |
13 56
|
sseldd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( c ` Z ) e. ZZ ) |
58 |
11 57
|
zsubcld |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( J - ( c ` Z ) ) e. ZZ ) |
59 |
9 11 58
|
3jca |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ J e. ZZ /\ ( J - ( c ` Z ) ) e. ZZ ) ) |
60 |
|
elfzle2 |
|- ( ( c ` Z ) e. ( 0 ... J ) -> ( c ` Z ) <_ J ) |
61 |
56 60
|
syl |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( c ` Z ) <_ J ) |
62 |
11
|
zred |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> J e. RR ) |
63 |
57
|
zred |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( c ` Z ) e. RR ) |
64 |
62 63
|
subge0d |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( 0 <_ ( J - ( c ` Z ) ) <-> ( c ` Z ) <_ J ) ) |
65 |
61 64
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> 0 <_ ( J - ( c ` Z ) ) ) |
66 |
|
elfzle1 |
|- ( ( c ` Z ) e. ( 0 ... J ) -> 0 <_ ( c ` Z ) ) |
67 |
56 66
|
syl |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> 0 <_ ( c ` Z ) ) |
68 |
62 63
|
subge02d |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( 0 <_ ( c ` Z ) <-> ( J - ( c ` Z ) ) <_ J ) ) |
69 |
67 68
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( J - ( c ` Z ) ) <_ J ) |
70 |
59 65 69
|
jca32 |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ J e. ZZ /\ ( J - ( c ` Z ) ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ ( J - ( c ` Z ) ) /\ ( J - ( c ` Z ) ) <_ J ) ) ) |
71 |
|
elfz2 |
|- ( ( J - ( c ` Z ) ) e. ( 0 ... J ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ J e. ZZ /\ ( J - ( c ` Z ) ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ ( J - ( c ` Z ) ) /\ ( J - ( c ` Z ) ) <_ J ) ) ) |
72 |
70 71
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( J - ( c ` Z ) ) e. ( 0 ... J ) ) |
73 |
|
elmapfn |
|- ( c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) -> c Fn ( R u. { Z } ) ) |
74 |
48 73
|
syl |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> c Fn ( R u. { Z } ) ) |
75 |
|
ssun1 |
|- R C_ ( R u. { Z } ) |
76 |
75
|
a1i |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> R C_ ( R u. { Z } ) ) |
77 |
|
fnssres |
|- ( ( c Fn ( R u. { Z } ) /\ R C_ ( R u. { Z } ) ) -> ( c |` R ) Fn R ) |
78 |
74 76 77
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( c |` R ) Fn R ) |
79 |
|
nfv |
|- F/ t ph |
80 |
|
nfcv |
|- F/_ t c |
81 |
|
nfcv |
|- F/_ t ~P T |
82 |
|
nfcv |
|- F/_ t NN0 |
83 |
|
nfcv |
|- F/_ t s |
84 |
83
|
nfsum1 |
|- F/_ t sum_ t e. s ( c ` t ) |
85 |
|
nfcv |
|- F/_ t n |
86 |
84 85
|
nfeq |
|- F/ t sum_ t e. s ( c ` t ) = n |
87 |
|
nfcv |
|- F/_ t ( ( 0 ... n ) ^m s ) |
88 |
86 87
|
nfrabw |
|- F/_ t { c e. ( ( 0 ... n ) ^m s ) | sum_ t e. s ( c ` t ) = n } |
89 |
82 88
|
nfmpt |
|- F/_ t ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m s ) | sum_ t e. s ( c ` t ) = n } ) |
90 |
81 89
|
nfmpt |
|- F/_ t ( s e. ~P T |-> ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m s ) | sum_ t e. s ( c ` t ) = n } ) ) |
91 |
1 90
|
nfcxfr |
|- F/_ t C |
92 |
|
nfcv |
|- F/_ t ( R u. { Z } ) |
93 |
91 92
|
nffv |
|- F/_ t ( C ` ( R u. { Z } ) ) |
94 |
|
nfcv |
|- F/_ t J |
95 |
93 94
|
nffv |
|- F/_ t ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) |
96 |
80 95
|
nfel |
|- F/ t c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) |
97 |
79 96
|
nfan |
|- F/ t ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) |
98 |
|
fvres |
|- ( t e. R -> ( ( c |` R ) ` t ) = ( c ` t ) ) |
99 |
98
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> ( ( c |` R ) ` t ) = ( c ` t ) ) |
100 |
9
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> 0 e. ZZ ) |
101 |
58
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> ( J - ( c ` Z ) ) e. ZZ ) |
102 |
12
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> ( 0 ... J ) C_ ZZ ) |
103 |
50
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> c : ( R u. { Z } ) --> ( 0 ... J ) ) |
104 |
76
|
sselda |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> t e. ( R u. { Z } ) ) |
105 |
103 104
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> ( c ` t ) e. ( 0 ... J ) ) |
106 |
102 105
|
sseldd |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> ( c ` t ) e. ZZ ) |
107 |
100 101 106
|
3jca |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> ( 0 e. ZZ /\ ( J - ( c ` Z ) ) e. ZZ /\ ( c ` t ) e. ZZ ) ) |
108 |
|
elfzle1 |
|- ( ( c ` t ) e. ( 0 ... J ) -> 0 <_ ( c ` t ) ) |
109 |
105 108
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> 0 <_ ( c ` t ) ) |
110 |
7
|
unssad |
|- ( ph -> R C_ T ) |
111 |
|
ssfi |
|- ( ( T e. Fin /\ R C_ T ) -> R e. Fin ) |
112 |
4 110 111
|
syl2anc |
|- ( ph -> R e. Fin ) |
113 |
112
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> R e. Fin ) |
114 |
|
zssre |
|- ZZ C_ RR |
115 |
12 114
|
sstri |
|- ( 0 ... J ) C_ RR |
116 |
115
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ r e. R ) -> ( 0 ... J ) C_ RR ) |
117 |
50
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ r e. R ) -> c : ( R u. { Z } ) --> ( 0 ... J ) ) |
118 |
76
|
sselda |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ r e. R ) -> r e. ( R u. { Z } ) ) |
119 |
117 118
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ r e. R ) -> ( c ` r ) e. ( 0 ... J ) ) |
120 |
116 119
|
sseldd |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ r e. R ) -> ( c ` r ) e. RR ) |
121 |
120
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) /\ r e. R ) -> ( c ` r ) e. RR ) |
122 |
|
elfzle1 |
|- ( ( c ` r ) e. ( 0 ... J ) -> 0 <_ ( c ` r ) ) |
123 |
119 122
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ r e. R ) -> 0 <_ ( c ` r ) ) |
124 |
123
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) /\ r e. R ) -> 0 <_ ( c ` r ) ) |
125 |
|
fveq2 |
|- ( r = t -> ( c ` r ) = ( c ` t ) ) |
126 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> t e. R ) |
127 |
113 121 124 125 126
|
fsumge1 |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> ( c ` t ) <_ sum_ r e. R ( c ` r ) ) |
128 |
112
|
adantr |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> R e. Fin ) |
129 |
120
|
recnd |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ r e. R ) -> ( c ` r ) e. CC ) |
130 |
128 129
|
fsumcl |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> sum_ r e. R ( c ` r ) e. CC ) |
131 |
63
|
recnd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( c ` Z ) e. CC ) |
132 |
130 131
|
pncand |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( ( sum_ r e. R ( c ` r ) + ( c ` Z ) ) - ( c ` Z ) ) = sum_ r e. R ( c ` r ) ) |
133 |
|
nfv |
|- F/ r ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) |
134 |
|
nfcv |
|- F/_ r ( c ` Z ) |
135 |
5
|
adantr |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> Z e. T ) |
136 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> -. Z e. R ) |
137 |
|
fveq2 |
|- ( r = Z -> ( c ` r ) = ( c ` Z ) ) |
138 |
133 134 128 135 136 129 137 131
|
fsumsplitsn |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> sum_ r e. ( R u. { Z } ) ( c ` r ) = ( sum_ r e. R ( c ` r ) + ( c ` Z ) ) ) |
139 |
138
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( sum_ r e. R ( c ` r ) + ( c ` Z ) ) = sum_ r e. ( R u. { Z } ) ( c ` r ) ) |
140 |
125
|
cbvsumv |
|- sum_ r e. ( R u. { Z } ) ( c ` r ) = sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) |
141 |
140
|
a1i |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> sum_ r e. ( R u. { Z } ) ( c ` r ) = sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) ) |
142 |
42
|
adantr |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) = { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } ) |
143 |
47 142
|
eleqtrd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> c e. { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } ) |
144 |
|
rabid |
|- ( c e. { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } <-> ( c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) /\ sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J ) ) |
145 |
143 144
|
sylib |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) /\ sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J ) ) |
146 |
145
|
simprd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J ) |
147 |
141 146
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> sum_ r e. ( R u. { Z } ) ( c ` r ) = J ) |
148 |
139 147
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( sum_ r e. R ( c ` r ) + ( c ` Z ) ) = J ) |
149 |
148
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( ( sum_ r e. R ( c ` r ) + ( c ` Z ) ) - ( c ` Z ) ) = ( J - ( c ` Z ) ) ) |
150 |
132 149
|
eqtr3d |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> sum_ r e. R ( c ` r ) = ( J - ( c ` Z ) ) ) |
151 |
150
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> sum_ r e. R ( c ` r ) = ( J - ( c ` Z ) ) ) |
152 |
127 151
|
breqtrd |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> ( c ` t ) <_ ( J - ( c ` Z ) ) ) |
153 |
107 109 152
|
jca32 |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ ( J - ( c ` Z ) ) e. ZZ /\ ( c ` t ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ ( c ` t ) /\ ( c ` t ) <_ ( J - ( c ` Z ) ) ) ) ) |
154 |
|
elfz2 |
|- ( ( c ` t ) e. ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ ( J - ( c ` Z ) ) e. ZZ /\ ( c ` t ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ ( c ` t ) /\ ( c ` t ) <_ ( J - ( c ` Z ) ) ) ) ) |
155 |
153 154
|
sylibr |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> ( c ` t ) e. ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ) |
156 |
99 155
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> ( ( c |` R ) ` t ) e. ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ) |
157 |
156
|
ex |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( t e. R -> ( ( c |` R ) ` t ) e. ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ) ) |
158 |
97 157
|
ralrimi |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> A. t e. R ( ( c |` R ) ` t ) e. ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ) |
159 |
78 158
|
jca |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( ( c |` R ) Fn R /\ A. t e. R ( ( c |` R ) ` t ) e. ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ) ) |
160 |
|
ffnfv |
|- ( ( c |` R ) : R --> ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) <-> ( ( c |` R ) Fn R /\ A. t e. R ( ( c |` R ) ` t ) e. ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ) ) |
161 |
159 160
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( c |` R ) : R --> ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ) |
162 |
|
ovexd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) e. _V ) |
163 |
4 110
|
ssexd |
|- ( ph -> R e. _V ) |
164 |
163
|
adantr |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> R e. _V ) |
165 |
162 164
|
elmapd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( ( c |` R ) e. ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) <-> ( c |` R ) : R --> ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ) ) |
166 |
161 165
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( c |` R ) e. ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) ) |
167 |
98
|
a1i |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( t e. R -> ( ( c |` R ) ` t ) = ( c ` t ) ) ) |
168 |
97 167
|
ralrimi |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> A. t e. R ( ( c |` R ) ` t ) = ( c ` t ) ) |
169 |
168
|
sumeq2d |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> sum_ t e. R ( ( c |` R ) ` t ) = sum_ t e. R ( c ` t ) ) |
170 |
125
|
cbvsumv |
|- sum_ r e. R ( c ` r ) = sum_ t e. R ( c ` t ) |
171 |
170
|
eqcomi |
|- sum_ t e. R ( c ` t ) = sum_ r e. R ( c ` r ) |
172 |
171
|
a1i |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> sum_ t e. R ( c ` t ) = sum_ r e. R ( c ` r ) ) |
173 |
150
|
idi |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> sum_ r e. R ( c ` r ) = ( J - ( c ` Z ) ) ) |
174 |
169 172 173
|
3eqtrd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> sum_ t e. R ( ( c |` R ) ` t ) = ( J - ( c ` Z ) ) ) |
175 |
166 174
|
jca |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( ( c |` R ) e. ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) /\ sum_ t e. R ( ( c |` R ) ` t ) = ( J - ( c ` Z ) ) ) ) |
176 |
|
eqidd |
|- ( e = ( c |` R ) -> R = R ) |
177 |
|
simpl |
|- ( ( e = ( c |` R ) /\ t e. R ) -> e = ( c |` R ) ) |
178 |
177
|
fveq1d |
|- ( ( e = ( c |` R ) /\ t e. R ) -> ( e ` t ) = ( ( c |` R ) ` t ) ) |
179 |
176 178
|
sumeq12rdv |
|- ( e = ( c |` R ) -> sum_ t e. R ( e ` t ) = sum_ t e. R ( ( c |` R ) ` t ) ) |
180 |
179
|
eqeq1d |
|- ( e = ( c |` R ) -> ( sum_ t e. R ( e ` t ) = ( J - ( c ` Z ) ) <-> sum_ t e. R ( ( c |` R ) ` t ) = ( J - ( c ` Z ) ) ) ) |
181 |
180
|
elrab |
|- ( ( c |` R ) e. { e e. ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) | sum_ t e. R ( e ` t ) = ( J - ( c ` Z ) ) } <-> ( ( c |` R ) e. ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) /\ sum_ t e. R ( ( c |` R ) ` t ) = ( J - ( c ` Z ) ) ) ) |
182 |
175 181
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( c |` R ) e. { e e. ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) | sum_ t e. R ( e ` t ) = ( J - ( c ` Z ) ) } ) |
183 |
|
oveq2 |
|- ( s = R -> ( ( 0 ... n ) ^m s ) = ( ( 0 ... n ) ^m R ) ) |
184 |
|
rabeq |
|- ( ( ( 0 ... n ) ^m s ) = ( ( 0 ... n ) ^m R ) -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m s ) | sum_ t e. s ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. s ( c ` t ) = n } ) |
185 |
183 184
|
syl |
|- ( s = R -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m s ) | sum_ t e. s ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. s ( c ` t ) = n } ) |
186 |
|
sumeq1 |
|- ( s = R -> sum_ t e. s ( c ` t ) = sum_ t e. R ( c ` t ) ) |
187 |
186
|
eqeq1d |
|- ( s = R -> ( sum_ t e. s ( c ` t ) = n <-> sum_ t e. R ( c ` t ) = n ) ) |
188 |
187
|
rabbidv |
|- ( s = R -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. s ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } ) |
189 |
185 188
|
eqtrd |
|- ( s = R -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m s ) | sum_ t e. s ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } ) |
190 |
189
|
mpteq2dv |
|- ( s = R -> ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m s ) | sum_ t e. s ( c ` t ) = n } ) = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } ) ) |
191 |
|
elpwg |
|- ( R e. _V -> ( R e. ~P T <-> R C_ T ) ) |
192 |
163 191
|
syl |
|- ( ph -> ( R e. ~P T <-> R C_ T ) ) |
193 |
110 192
|
mpbird |
|- ( ph -> R e. ~P T ) |
194 |
27
|
mptex |
|- ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } ) e. _V |
195 |
194
|
a1i |
|- ( ph -> ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } ) e. _V ) |
196 |
1 190 193 195
|
fvmptd3 |
|- ( ph -> ( C ` R ) = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } ) ) |
197 |
196
|
adantr |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( C ` R ) = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } ) ) |
198 |
|
oveq2 |
|- ( n = m -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... m ) ) |
199 |
198
|
oveq1d |
|- ( n = m -> ( ( 0 ... n ) ^m R ) = ( ( 0 ... m ) ^m R ) ) |
200 |
|
rabeq |
|- ( ( ( 0 ... n ) ^m R ) = ( ( 0 ... m ) ^m R ) -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... m ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } ) |
201 |
199 200
|
syl |
|- ( n = m -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... m ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } ) |
202 |
|
eqeq2 |
|- ( n = m -> ( sum_ t e. R ( c ` t ) = n <-> sum_ t e. R ( c ` t ) = m ) ) |
203 |
202
|
rabbidv |
|- ( n = m -> { c e. ( ( 0 ... m ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... m ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = m } ) |
204 |
201 203
|
eqtrd |
|- ( n = m -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... m ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = m } ) |
205 |
204
|
cbvmptv |
|- ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } ) = ( m e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... m ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = m } ) |
206 |
205
|
a1i |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } ) = ( m e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... m ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = m } ) ) |
207 |
197 206
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( C ` R ) = ( m e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... m ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = m } ) ) |
208 |
|
fveq1 |
|- ( c = e -> ( c ` t ) = ( e ` t ) ) |
209 |
208
|
sumeq2sdv |
|- ( c = e -> sum_ t e. R ( c ` t ) = sum_ t e. R ( e ` t ) ) |
210 |
209
|
eqeq1d |
|- ( c = e -> ( sum_ t e. R ( c ` t ) = m <-> sum_ t e. R ( e ` t ) = m ) ) |
211 |
210
|
cbvrabv |
|- { c e. ( ( 0 ... m ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = m } = { e e. ( ( 0 ... m ) ^m R ) | sum_ t e. R ( e ` t ) = m } |
212 |
211
|
a1i |
|- ( m = ( J - ( c ` Z ) ) -> { c e. ( ( 0 ... m ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = m } = { e e. ( ( 0 ... m ) ^m R ) | sum_ t e. R ( e ` t ) = m } ) |
213 |
|
oveq2 |
|- ( m = ( J - ( c ` Z ) ) -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ) |
214 |
213
|
oveq1d |
|- ( m = ( J - ( c ` Z ) ) -> ( ( 0 ... m ) ^m R ) = ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) ) |
215 |
|
rabeq |
|- ( ( ( 0 ... m ) ^m R ) = ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) -> { e e. ( ( 0 ... m ) ^m R ) | sum_ t e. R ( e ` t ) = m } = { e e. ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) | sum_ t e. R ( e ` t ) = m } ) |
216 |
214 215
|
syl |
|- ( m = ( J - ( c ` Z ) ) -> { e e. ( ( 0 ... m ) ^m R ) | sum_ t e. R ( e ` t ) = m } = { e e. ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) | sum_ t e. R ( e ` t ) = m } ) |
217 |
|
eqeq2 |
|- ( m = ( J - ( c ` Z ) ) -> ( sum_ t e. R ( e ` t ) = m <-> sum_ t e. R ( e ` t ) = ( J - ( c ` Z ) ) ) ) |
218 |
217
|
rabbidv |
|- ( m = ( J - ( c ` Z ) ) -> { e e. ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) | sum_ t e. R ( e ` t ) = m } = { e e. ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) | sum_ t e. R ( e ` t ) = ( J - ( c ` Z ) ) } ) |
219 |
212 216 218
|
3eqtrd |
|- ( m = ( J - ( c ` Z ) ) -> { c e. ( ( 0 ... m ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = m } = { e e. ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) | sum_ t e. R ( e ` t ) = ( J - ( c ` Z ) ) } ) |
220 |
219
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ m = ( J - ( c ` Z ) ) ) -> { c e. ( ( 0 ... m ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = m } = { e e. ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) | sum_ t e. R ( e ` t ) = ( J - ( c ` Z ) ) } ) |
221 |
58 65
|
jca |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( ( J - ( c ` Z ) ) e. ZZ /\ 0 <_ ( J - ( c ` Z ) ) ) ) |
222 |
|
elnn0z |
|- ( ( J - ( c ` Z ) ) e. NN0 <-> ( ( J - ( c ` Z ) ) e. ZZ /\ 0 <_ ( J - ( c ` Z ) ) ) ) |
223 |
221 222
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( J - ( c ` Z ) ) e. NN0 ) |
224 |
|
ovex |
|- ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) e. _V |
225 |
224
|
rabex |
|- { e e. ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) | sum_ t e. R ( e ` t ) = ( J - ( c ` Z ) ) } e. _V |
226 |
225
|
a1i |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> { e e. ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) | sum_ t e. R ( e ` t ) = ( J - ( c ` Z ) ) } e. _V ) |
227 |
207 220 223 226
|
fvmptd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( ( C ` R ) ` ( J - ( c ` Z ) ) ) = { e e. ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) | sum_ t e. R ( e ` t ) = ( J - ( c ` Z ) ) } ) |
228 |
227
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> { e e. ( ( 0 ... ( J - ( c ` Z ) ) ) ^m R ) | sum_ t e. R ( e ` t ) = ( J - ( c ` Z ) ) } = ( ( C ` R ) ` ( J - ( c ` Z ) ) ) ) |
229 |
182 228
|
eleqtrd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( c |` R ) e. ( ( C ` R ) ` ( J - ( c ` Z ) ) ) ) |
230 |
72 229
|
jca |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( ( J - ( c ` Z ) ) e. ( 0 ... J ) /\ ( c |` R ) e. ( ( C ` R ) ` ( J - ( c ` Z ) ) ) ) ) |
231 |
8 230
|
jca |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. = <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. /\ ( ( J - ( c ` Z ) ) e. ( 0 ... J ) /\ ( c |` R ) e. ( ( C ` R ) ` ( J - ( c ` Z ) ) ) ) ) ) |
232 |
|
ovexd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( J - ( c ` Z ) ) e. _V ) |
233 |
|
vex |
|- c e. _V |
234 |
233
|
resex |
|- ( c |` R ) e. _V |
235 |
234
|
a1i |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( c |` R ) e. _V ) |
236 |
|
opeq12 |
|- ( ( k = ( J - ( c ` Z ) ) /\ d = ( c |` R ) ) -> <. k , d >. = <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. ) |
237 |
236
|
eqeq2d |
|- ( ( k = ( J - ( c ` Z ) ) /\ d = ( c |` R ) ) -> ( <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. = <. k , d >. <-> <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. = <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. ) ) |
238 |
|
eleq1 |
|- ( k = ( J - ( c ` Z ) ) -> ( k e. ( 0 ... J ) <-> ( J - ( c ` Z ) ) e. ( 0 ... J ) ) ) |
239 |
238
|
adantr |
|- ( ( k = ( J - ( c ` Z ) ) /\ d = ( c |` R ) ) -> ( k e. ( 0 ... J ) <-> ( J - ( c ` Z ) ) e. ( 0 ... J ) ) ) |
240 |
|
simpr |
|- ( ( k = ( J - ( c ` Z ) ) /\ d = ( c |` R ) ) -> d = ( c |` R ) ) |
241 |
|
fveq2 |
|- ( k = ( J - ( c ` Z ) ) -> ( ( C ` R ) ` k ) = ( ( C ` R ) ` ( J - ( c ` Z ) ) ) ) |
242 |
241
|
adantr |
|- ( ( k = ( J - ( c ` Z ) ) /\ d = ( c |` R ) ) -> ( ( C ` R ) ` k ) = ( ( C ` R ) ` ( J - ( c ` Z ) ) ) ) |
243 |
240 242
|
eleq12d |
|- ( ( k = ( J - ( c ` Z ) ) /\ d = ( c |` R ) ) -> ( d e. ( ( C ` R ) ` k ) <-> ( c |` R ) e. ( ( C ` R ) ` ( J - ( c ` Z ) ) ) ) ) |
244 |
239 243
|
anbi12d |
|- ( ( k = ( J - ( c ` Z ) ) /\ d = ( c |` R ) ) -> ( ( k e. ( 0 ... J ) /\ d e. ( ( C ` R ) ` k ) ) <-> ( ( J - ( c ` Z ) ) e. ( 0 ... J ) /\ ( c |` R ) e. ( ( C ` R ) ` ( J - ( c ` Z ) ) ) ) ) ) |
245 |
237 244
|
anbi12d |
|- ( ( k = ( J - ( c ` Z ) ) /\ d = ( c |` R ) ) -> ( ( <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. = <. k , d >. /\ ( k e. ( 0 ... J ) /\ d e. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) <-> ( <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. = <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. /\ ( ( J - ( c ` Z ) ) e. ( 0 ... J ) /\ ( c |` R ) e. ( ( C ` R ) ` ( J - ( c ` Z ) ) ) ) ) ) ) |
246 |
245
|
spc2egv |
|- ( ( ( J - ( c ` Z ) ) e. _V /\ ( c |` R ) e. _V ) -> ( ( <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. = <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. /\ ( ( J - ( c ` Z ) ) e. ( 0 ... J ) /\ ( c |` R ) e. ( ( C ` R ) ` ( J - ( c ` Z ) ) ) ) ) -> E. k E. d ( <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. = <. k , d >. /\ ( k e. ( 0 ... J ) /\ d e. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) ) ) |
247 |
232 235 246
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( ( <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. = <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. /\ ( ( J - ( c ` Z ) ) e. ( 0 ... J ) /\ ( c |` R ) e. ( ( C ` R ) ` ( J - ( c ` Z ) ) ) ) ) -> E. k E. d ( <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. = <. k , d >. /\ ( k e. ( 0 ... J ) /\ d e. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) ) ) |
248 |
231 247
|
mpd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> E. k E. d ( <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. = <. k , d >. /\ ( k e. ( 0 ... J ) /\ d e. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) ) |
249 |
|
eliunxp |
|- ( <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) <-> E. k E. d ( <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. = <. k , d >. /\ ( k e. ( 0 ... J ) /\ d e. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) ) |
250 |
248 249
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) |
251 |
250 3
|
fmptd |
|- ( ph -> D : ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) --> U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) |
252 |
95
|
nfcri |
|- F/ t e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) |
253 |
96 252
|
nfan |
|- F/ t ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) |
254 |
79 253
|
nfan |
|- F/ t ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) |
255 |
|
nfv |
|- F/ t ( D ` c ) = ( D ` e ) |
256 |
254 255
|
nfan |
|- F/ t ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) |
257 |
99
|
eqcomd |
|- ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ t e. R ) -> ( c ` t ) = ( ( c |` R ) ` t ) ) |
258 |
257
|
adantlrr |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ t e. R ) -> ( c ` t ) = ( ( c |` R ) ` t ) ) |
259 |
258
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t e. R ) -> ( c ` t ) = ( ( c |` R ) ` t ) ) |
260 |
3
|
a1i |
|- ( ph -> D = ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) |-> <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. ) ) |
261 |
|
opex |
|- <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. e. _V |
262 |
261
|
a1i |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. e. _V ) |
263 |
260 262
|
fvmpt2d |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( D ` c ) = <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. ) |
264 |
263
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( 2nd ` ( D ` c ) ) = ( 2nd ` <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. ) ) |
265 |
264
|
fveq1d |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( ( 2nd ` ( D ` c ) ) ` t ) = ( ( 2nd ` <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. ) ` t ) ) |
266 |
|
ovex |
|- ( J - ( c ` Z ) ) e. _V |
267 |
266 234
|
op2nd |
|- ( 2nd ` <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. ) = ( c |` R ) |
268 |
267
|
fveq1i |
|- ( ( 2nd ` <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. ) ` t ) = ( ( c |` R ) ` t ) |
269 |
268
|
a1i |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( ( 2nd ` <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. ) ` t ) = ( ( c |` R ) ` t ) ) |
270 |
265 269
|
eqtr2d |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( ( c |` R ) ` t ) = ( ( 2nd ` ( D ` c ) ) ` t ) ) |
271 |
270
|
adantrr |
|- ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) -> ( ( c |` R ) ` t ) = ( ( 2nd ` ( D ` c ) ) ` t ) ) |
272 |
271
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t e. R ) -> ( ( c |` R ) ` t ) = ( ( 2nd ` ( D ` c ) ) ` t ) ) |
273 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( D ` c ) = ( D ` e ) ) |
274 |
|
fveq1 |
|- ( c = e -> ( c ` Z ) = ( e ` Z ) ) |
275 |
274
|
oveq2d |
|- ( c = e -> ( J - ( c ` Z ) ) = ( J - ( e ` Z ) ) ) |
276 |
|
reseq1 |
|- ( c = e -> ( c |` R ) = ( e |` R ) ) |
277 |
275 276
|
opeq12d |
|- ( c = e -> <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. = <. ( J - ( e ` Z ) ) , ( e |` R ) >. ) |
278 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) |
279 |
|
opex |
|- <. ( J - ( e ` Z ) ) , ( e |` R ) >. e. _V |
280 |
279
|
a1i |
|- ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> <. ( J - ( e ` Z ) ) , ( e |` R ) >. e. _V ) |
281 |
3 277 278 280
|
fvmptd3 |
|- ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( D ` e ) = <. ( J - ( e ` Z ) ) , ( e |` R ) >. ) |
282 |
281
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( D ` e ) = <. ( J - ( e ` Z ) ) , ( e |` R ) >. ) |
283 |
273 282
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( D ` c ) = <. ( J - ( e ` Z ) ) , ( e |` R ) >. ) |
284 |
283
|
fveq2d |
|- ( ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( 2nd ` ( D ` c ) ) = ( 2nd ` <. ( J - ( e ` Z ) ) , ( e |` R ) >. ) ) |
285 |
284
|
adantlrl |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( 2nd ` ( D ` c ) ) = ( 2nd ` <. ( J - ( e ` Z ) ) , ( e |` R ) >. ) ) |
286 |
285
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t e. R ) -> ( 2nd ` ( D ` c ) ) = ( 2nd ` <. ( J - ( e ` Z ) ) , ( e |` R ) >. ) ) |
287 |
|
ovex |
|- ( J - ( e ` Z ) ) e. _V |
288 |
|
vex |
|- e e. _V |
289 |
288
|
resex |
|- ( e |` R ) e. _V |
290 |
287 289
|
op2nd |
|- ( 2nd ` <. ( J - ( e ` Z ) ) , ( e |` R ) >. ) = ( e |` R ) |
291 |
290
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t e. R ) -> ( 2nd ` <. ( J - ( e ` Z ) ) , ( e |` R ) >. ) = ( e |` R ) ) |
292 |
286 291
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t e. R ) -> ( 2nd ` ( D ` c ) ) = ( e |` R ) ) |
293 |
292
|
fveq1d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t e. R ) -> ( ( 2nd ` ( D ` c ) ) ` t ) = ( ( e |` R ) ` t ) ) |
294 |
|
fvres |
|- ( t e. R -> ( ( e |` R ) ` t ) = ( e ` t ) ) |
295 |
294
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t e. R ) -> ( ( e |` R ) ` t ) = ( e ` t ) ) |
296 |
293 295
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t e. R ) -> ( ( 2nd ` ( D ` c ) ) ` t ) = ( e ` t ) ) |
297 |
259 272 296
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t e. R ) -> ( c ` t ) = ( e ` t ) ) |
298 |
297
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ t e. R ) -> ( c ` t ) = ( e ` t ) ) |
299 |
|
simpl |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ -. t e. R ) -> ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) ) |
300 |
|
elunnel1 |
|- ( ( t e. ( R u. { Z } ) /\ -. t e. R ) -> t e. { Z } ) |
301 |
|
elsni |
|- ( t e. { Z } -> t = Z ) |
302 |
300 301
|
syl |
|- ( ( t e. ( R u. { Z } ) /\ -. t e. R ) -> t = Z ) |
303 |
302
|
adantll |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ -. t e. R ) -> t = Z ) |
304 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t = Z ) -> t = Z ) |
305 |
304
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t = Z ) -> ( c ` t ) = ( c ` Z ) ) |
306 |
2
|
nn0cnd |
|- ( ph -> J e. CC ) |
307 |
306
|
adantr |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> J e. CC ) |
308 |
307 131
|
nncand |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( J - ( J - ( c ` Z ) ) ) = ( c ` Z ) ) |
309 |
308
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( c ` Z ) = ( J - ( J - ( c ` Z ) ) ) ) |
310 |
309
|
adantrr |
|- ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) -> ( c ` Z ) = ( J - ( J - ( c ` Z ) ) ) ) |
311 |
310
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( c ` Z ) = ( J - ( J - ( c ` Z ) ) ) ) |
312 |
263
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( 1st ` ( D ` c ) ) = ( 1st ` <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. ) ) |
313 |
266 234
|
op1st |
|- ( 1st ` <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. ) = ( J - ( c ` Z ) ) |
314 |
313
|
a1i |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( 1st ` <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. ) = ( J - ( c ` Z ) ) ) |
315 |
312 314
|
eqtr2d |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( J - ( c ` Z ) ) = ( 1st ` ( D ` c ) ) ) |
316 |
315
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( J - ( J - ( c ` Z ) ) ) = ( J - ( 1st ` ( D ` c ) ) ) ) |
317 |
316
|
adantrr |
|- ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) -> ( J - ( J - ( c ` Z ) ) ) = ( J - ( 1st ` ( D ` c ) ) ) ) |
318 |
317
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( J - ( J - ( c ` Z ) ) ) = ( J - ( 1st ` ( D ` c ) ) ) ) |
319 |
|
fveq2 |
|- ( ( D ` c ) = ( D ` e ) -> ( 1st ` ( D ` c ) ) = ( 1st ` ( D ` e ) ) ) |
320 |
319
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( 1st ` ( D ` c ) ) = ( 1st ` ( D ` e ) ) ) |
321 |
281
|
fveq2d |
|- ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( 1st ` ( D ` e ) ) = ( 1st ` <. ( J - ( e ` Z ) ) , ( e |` R ) >. ) ) |
322 |
321
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( 1st ` ( D ` e ) ) = ( 1st ` <. ( J - ( e ` Z ) ) , ( e |` R ) >. ) ) |
323 |
287 289
|
op1st |
|- ( 1st ` <. ( J - ( e ` Z ) ) , ( e |` R ) >. ) = ( J - ( e ` Z ) ) |
324 |
323
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( 1st ` <. ( J - ( e ` Z ) ) , ( e |` R ) >. ) = ( J - ( e ` Z ) ) ) |
325 |
320 322 324
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( 1st ` ( D ` c ) ) = ( J - ( e ` Z ) ) ) |
326 |
325
|
oveq2d |
|- ( ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( J - ( 1st ` ( D ` c ) ) ) = ( J - ( J - ( e ` Z ) ) ) ) |
327 |
306
|
adantr |
|- ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> J e. CC ) |
328 |
|
zsscn |
|- ZZ C_ CC |
329 |
12 328
|
sstri |
|- ( 0 ... J ) C_ CC |
330 |
329
|
a1i |
|- ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( 0 ... J ) C_ CC ) |
331 |
|
eleq1w |
|- ( c = e -> ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) <-> e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) |
332 |
331
|
anbi2d |
|- ( c = e -> ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) <-> ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) ) |
333 |
|
feq1 |
|- ( c = e -> ( c : ( R u. { Z } ) --> ( 0 ... J ) <-> e : ( R u. { Z } ) --> ( 0 ... J ) ) ) |
334 |
332 333
|
imbi12d |
|- ( c = e -> ( ( ( ph /\ c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> c : ( R u. { Z } ) --> ( 0 ... J ) ) <-> ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> e : ( R u. { Z } ) --> ( 0 ... J ) ) ) ) |
335 |
334 50
|
chvarvv |
|- ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> e : ( R u. { Z } ) --> ( 0 ... J ) ) |
336 |
54
|
adantr |
|- ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> Z e. ( R u. { Z } ) ) |
337 |
335 336
|
ffvelrnd |
|- ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( e ` Z ) e. ( 0 ... J ) ) |
338 |
330 337
|
sseldd |
|- ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( e ` Z ) e. CC ) |
339 |
327 338
|
nncand |
|- ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> ( J - ( J - ( e ` Z ) ) ) = ( e ` Z ) ) |
340 |
339
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( J - ( J - ( e ` Z ) ) ) = ( e ` Z ) ) |
341 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( e ` Z ) = ( e ` Z ) ) |
342 |
326 340 341
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( J - ( 1st ` ( D ` c ) ) ) = ( e ` Z ) ) |
343 |
342
|
adantlrl |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( J - ( 1st ` ( D ` c ) ) ) = ( e ` Z ) ) |
344 |
311 318 343
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( c ` Z ) = ( e ` Z ) ) |
345 |
344
|
adantr |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t = Z ) -> ( c ` Z ) = ( e ` Z ) ) |
346 |
|
fveq2 |
|- ( t = Z -> ( e ` t ) = ( e ` Z ) ) |
347 |
346
|
eqcomd |
|- ( t = Z -> ( e ` Z ) = ( e ` t ) ) |
348 |
347
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t = Z ) -> ( e ` Z ) = ( e ` t ) ) |
349 |
305 345 348
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t = Z ) -> ( c ` t ) = ( e ` t ) ) |
350 |
349
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ t = Z ) -> ( c ` t ) = ( e ` t ) ) |
351 |
299 303 350
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ -. t e. R ) -> ( c ` t ) = ( e ` t ) ) |
352 |
298 351
|
pm2.61dan |
|- ( ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) -> ( c ` t ) = ( e ` t ) ) |
353 |
352
|
ex |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( t e. ( R u. { Z } ) -> ( c ` t ) = ( e ` t ) ) ) |
354 |
256 353
|
ralrimi |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> A. t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = ( e ` t ) ) |
355 |
74
|
adantrr |
|- ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) -> c Fn ( R u. { Z } ) ) |
356 |
355
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> c Fn ( R u. { Z } ) ) |
357 |
335
|
ffnd |
|- ( ( ph /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) -> e Fn ( R u. { Z } ) ) |
358 |
357
|
adantrl |
|- ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) -> e Fn ( R u. { Z } ) ) |
359 |
358
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> e Fn ( R u. { Z } ) ) |
360 |
|
eqfnfv |
|- ( ( c Fn ( R u. { Z } ) /\ e Fn ( R u. { Z } ) ) -> ( c = e <-> A. t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = ( e ` t ) ) ) |
361 |
356 359 360
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> ( c = e <-> A. t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = ( e ` t ) ) ) |
362 |
354 361
|
mpbird |
|- ( ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) /\ ( D ` c ) = ( D ` e ) ) -> c = e ) |
363 |
362
|
ex |
|- ( ( ph /\ ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) ) -> ( ( D ` c ) = ( D ` e ) -> c = e ) ) |
364 |
363
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) A. e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ( ( D ` c ) = ( D ` e ) -> c = e ) ) |
365 |
251 364
|
jca |
|- ( ph -> ( D : ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) --> U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) /\ A. c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) A. e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ( ( D ` c ) = ( D ` e ) -> c = e ) ) ) |
366 |
|
dff13 |
|- ( D : ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) -1-1-> U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) <-> ( D : ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) --> U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) /\ A. c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) A. e e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ( ( D ` c ) = ( D ` e ) -> c = e ) ) ) |
367 |
365 366
|
sylibr |
|- ( ph -> D : ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) -1-1-> U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) |
368 |
|
eliun |
|- ( p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) <-> E. k e. ( 0 ... J ) p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) |
369 |
368
|
biimpi |
|- ( p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> E. k e. ( 0 ... J ) p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) |
370 |
369
|
adantl |
|- ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> E. k e. ( 0 ... J ) p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) |
371 |
|
nfv |
|- F/ k ph |
372 |
|
nfcv |
|- F/_ k p |
373 |
|
nfiu1 |
|- F/_ k U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) |
374 |
372 373
|
nfel |
|- F/ k p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) |
375 |
371 374
|
nfan |
|- F/ k ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) |
376 |
|
nfv |
|- F/ k ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) e. { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } |
377 |
|
nfv |
|- F/ t k e. ( 0 ... J ) |
378 |
|
nfcv |
|- F/_ t p |
379 |
|
nfcv |
|- F/_ t { k } |
380 |
|
nfcv |
|- F/_ t R |
381 |
91 380
|
nffv |
|- F/_ t ( C ` R ) |
382 |
|
nfcv |
|- F/_ t k |
383 |
381 382
|
nffv |
|- F/_ t ( ( C ` R ) ` k ) |
384 |
379 383
|
nfxp |
|- F/_ t ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) |
385 |
378 384
|
nfel |
|- F/ t p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) |
386 |
79 377 385
|
nf3an |
|- F/ t ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) |
387 |
|
0zd |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) -> 0 e. ZZ ) |
388 |
10
|
adantr |
|- ( ( ph /\ t e. ( R u. { Z } ) ) -> J e. ZZ ) |
389 |
388
|
3ad2antl1 |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) -> J e. ZZ ) |
390 |
|
iftrue |
|- ( t e. R -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = ( ( 2nd ` p ) ` t ) ) |
391 |
390
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ t e. R ) -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = ( ( 2nd ` p ) ` t ) ) |
392 |
|
fzssz |
|- ( 0 ... k ) C_ ZZ |
393 |
392
|
a1i |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ t e. R ) -> ( 0 ... k ) C_ ZZ ) |
394 |
|
simp1 |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ph ) |
395 |
|
simp2 |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> k e. ( 0 ... J ) ) |
396 |
|
xp2nd |
|- ( p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> ( 2nd ` p ) e. ( ( C ` R ) ` k ) ) |
397 |
396
|
3ad2ant3 |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( 2nd ` p ) e. ( ( C ` R ) ` k ) ) |
398 |
196
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( C ` R ) = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } ) ) |
399 |
|
oveq2 |
|- ( n = k -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... k ) ) |
400 |
399
|
oveq1d |
|- ( n = k -> ( ( 0 ... n ) ^m R ) = ( ( 0 ... k ) ^m R ) ) |
401 |
|
rabeq |
|- ( ( ( 0 ... n ) ^m R ) = ( ( 0 ... k ) ^m R ) -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } ) |
402 |
400 401
|
syl |
|- ( n = k -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } ) |
403 |
|
eqeq2 |
|- ( n = k -> ( sum_ t e. R ( c ` t ) = n <-> sum_ t e. R ( c ` t ) = k ) ) |
404 |
403
|
rabbidv |
|- ( n = k -> { c e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = k } ) |
405 |
402 404
|
eqtrd |
|- ( n = k -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = k } ) |
406 |
405
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) /\ n = k ) -> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = n } = { c e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = k } ) |
407 |
|
elfznn0 |
|- ( k e. ( 0 ... J ) -> k e. NN0 ) |
408 |
407
|
adantl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> k e. NN0 ) |
409 |
|
ovex |
|- ( ( 0 ... k ) ^m R ) e. _V |
410 |
409
|
rabex |
|- { c e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = k } e. _V |
411 |
410
|
a1i |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> { c e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = k } e. _V ) |
412 |
398 406 408 411
|
fvmptd |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( C ` R ) ` k ) = { c e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = k } ) |
413 |
412
|
3adant3 |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( ( C ` R ) ` k ) = { c e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = k } ) |
414 |
397 413
|
eleqtrd |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( 2nd ` p ) e. { c e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = k } ) |
415 |
|
elrabi |
|- ( ( 2nd ` p ) e. { c e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = k } -> ( 2nd ` p ) e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) ) |
416 |
415
|
3ad2ant3 |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ ( 2nd ` p ) e. { c e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = k } ) -> ( 2nd ` p ) e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) ) |
417 |
394 395 414 416
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( 2nd ` p ) e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) ) |
418 |
|
elmapi |
|- ( ( 2nd ` p ) e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) -> ( 2nd ` p ) : R --> ( 0 ... k ) ) |
419 |
417 418
|
syl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( 2nd ` p ) : R --> ( 0 ... k ) ) |
420 |
419
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) -> ( 2nd ` p ) : R --> ( 0 ... k ) ) |
421 |
420
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ t e. R ) -> ( ( 2nd ` p ) ` t ) e. ( 0 ... k ) ) |
422 |
393 421
|
sseldd |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ t e. R ) -> ( ( 2nd ` p ) ` t ) e. ZZ ) |
423 |
391 422
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ t e. R ) -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) e. ZZ ) |
424 |
|
simpl |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ -. t e. R ) -> ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) ) |
425 |
302
|
adantll |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ -. t e. R ) -> t = Z ) |
426 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ t = Z ) -> t = Z ) |
427 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ t = Z ) -> -. Z e. R ) |
428 |
426 427
|
eqneltrd |
|- ( ( ph /\ t = Z ) -> -. t e. R ) |
429 |
428
|
iffalsed |
|- ( ( ph /\ t = Z ) -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = ( J - ( 1st ` p ) ) ) |
430 |
429
|
3ad2antl1 |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t = Z ) -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = ( J - ( 1st ` p ) ) ) |
431 |
10
|
adantr |
|- ( ( ph /\ t = Z ) -> J e. ZZ ) |
432 |
431
|
3ad2antl1 |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t = Z ) -> J e. ZZ ) |
433 |
|
xp1st |
|- ( p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> ( 1st ` p ) e. { k } ) |
434 |
|
elsni |
|- ( ( 1st ` p ) e. { k } -> ( 1st ` p ) = k ) |
435 |
433 434
|
syl |
|- ( p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> ( 1st ` p ) = k ) |
436 |
435
|
adantl |
|- ( ( k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( 1st ` p ) = k ) |
437 |
12
|
sseli |
|- ( k e. ( 0 ... J ) -> k e. ZZ ) |
438 |
437
|
adantr |
|- ( ( k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> k e. ZZ ) |
439 |
436 438
|
eqeltrd |
|- ( ( k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( 1st ` p ) e. ZZ ) |
440 |
439
|
3adant1 |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( 1st ` p ) e. ZZ ) |
441 |
440
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t = Z ) -> ( 1st ` p ) e. ZZ ) |
442 |
432 441
|
zsubcld |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t = Z ) -> ( J - ( 1st ` p ) ) e. ZZ ) |
443 |
430 442
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t = Z ) -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) e. ZZ ) |
444 |
443
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ t = Z ) -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) e. ZZ ) |
445 |
424 425 444
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ -. t e. R ) -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) e. ZZ ) |
446 |
423 445
|
pm2.61dan |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) e. ZZ ) |
447 |
387 389 446
|
3jca |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ J e. ZZ /\ if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) e. ZZ ) ) |
448 |
419
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. R ) -> ( ( 2nd ` p ) ` t ) e. ( 0 ... k ) ) |
449 |
|
elfzle1 |
|- ( ( ( 2nd ` p ) ` t ) e. ( 0 ... k ) -> 0 <_ ( ( 2nd ` p ) ` t ) ) |
450 |
448 449
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. R ) -> 0 <_ ( ( 2nd ` p ) ` t ) ) |
451 |
390
|
eqcomd |
|- ( t e. R -> ( ( 2nd ` p ) ` t ) = if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
452 |
451
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. R ) -> ( ( 2nd ` p ) ` t ) = if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
453 |
450 452
|
breqtrd |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. R ) -> 0 <_ if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
454 |
453
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ t e. R ) -> 0 <_ if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
455 |
|
simpll |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ -. t e. R ) -> ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) ) |
456 |
|
elfzle2 |
|- ( k e. ( 0 ... J ) -> k <_ J ) |
457 |
|
elfzel2 |
|- ( k e. ( 0 ... J ) -> J e. ZZ ) |
458 |
457
|
zred |
|- ( k e. ( 0 ... J ) -> J e. RR ) |
459 |
115
|
sseli |
|- ( k e. ( 0 ... J ) -> k e. RR ) |
460 |
458 459
|
subge0d |
|- ( k e. ( 0 ... J ) -> ( 0 <_ ( J - k ) <-> k <_ J ) ) |
461 |
456 460
|
mpbird |
|- ( k e. ( 0 ... J ) -> 0 <_ ( J - k ) ) |
462 |
461
|
adantr |
|- ( ( k e. ( 0 ... J ) /\ t = Z ) -> 0 <_ ( J - k ) ) |
463 |
462
|
3ad2antl2 |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t = Z ) -> 0 <_ ( J - k ) ) |
464 |
394 428
|
sylan |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t = Z ) -> -. t e. R ) |
465 |
464
|
iffalsed |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t = Z ) -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = ( J - ( 1st ` p ) ) ) |
466 |
436
|
3adant1 |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( 1st ` p ) = k ) |
467 |
466
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( J - ( 1st ` p ) ) = ( J - k ) ) |
468 |
467
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t = Z ) -> ( J - ( 1st ` p ) ) = ( J - k ) ) |
469 |
465 468
|
eqtr2d |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t = Z ) -> ( J - k ) = if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
470 |
463 469
|
breqtrd |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t = Z ) -> 0 <_ if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
471 |
455 425 470
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ -. t e. R ) -> 0 <_ if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
472 |
454 471
|
pm2.61dan |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) -> 0 <_ if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
473 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. R ) -> k e. ( 0 ... J ) ) |
474 |
392
|
sseli |
|- ( ( ( 2nd ` p ) ` t ) e. ( 0 ... k ) -> ( ( 2nd ` p ) ` t ) e. ZZ ) |
475 |
474
|
zred |
|- ( ( ( 2nd ` p ) ` t ) e. ( 0 ... k ) -> ( ( 2nd ` p ) ` t ) e. RR ) |
476 |
475
|
adantr |
|- ( ( ( ( 2nd ` p ) ` t ) e. ( 0 ... k ) /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( 2nd ` p ) ` t ) e. RR ) |
477 |
459
|
adantl |
|- ( ( ( ( 2nd ` p ) ` t ) e. ( 0 ... k ) /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> k e. RR ) |
478 |
458
|
adantl |
|- ( ( ( ( 2nd ` p ) ` t ) e. ( 0 ... k ) /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> J e. RR ) |
479 |
|
elfzle2 |
|- ( ( ( 2nd ` p ) ` t ) e. ( 0 ... k ) -> ( ( 2nd ` p ) ` t ) <_ k ) |
480 |
479
|
adantr |
|- ( ( ( ( 2nd ` p ) ` t ) e. ( 0 ... k ) /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( 2nd ` p ) ` t ) <_ k ) |
481 |
456
|
adantl |
|- ( ( ( ( 2nd ` p ) ` t ) e. ( 0 ... k ) /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> k <_ J ) |
482 |
476 477 478 480 481
|
letrd |
|- ( ( ( ( 2nd ` p ) ` t ) e. ( 0 ... k ) /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( 2nd ` p ) ` t ) <_ J ) |
483 |
448 473 482
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. R ) -> ( ( 2nd ` p ) ` t ) <_ J ) |
484 |
483
|
adantlr |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ t e. R ) -> ( ( 2nd ` p ) ` t ) <_ J ) |
485 |
391 484
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ t e. R ) -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) <_ J ) |
486 |
469
|
eqcomd |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t = Z ) -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = ( J - k ) ) |
487 |
408
|
nn0ge0d |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> 0 <_ k ) |
488 |
458
|
adantl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> J e. RR ) |
489 |
459
|
adantl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> k e. RR ) |
490 |
488 489
|
subge02d |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( 0 <_ k <-> ( J - k ) <_ J ) ) |
491 |
487 490
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( J - k ) <_ J ) |
492 |
491
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) /\ t = Z ) -> ( J - k ) <_ J ) |
493 |
492
|
3adantl3 |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t = Z ) -> ( J - k ) <_ J ) |
494 |
486 493
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t = Z ) -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) <_ J ) |
495 |
455 425 494
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ -. t e. R ) -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) <_ J ) |
496 |
485 495
|
pm2.61dan |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) <_ J ) |
497 |
447 472 496
|
jca32 |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) -> ( ( 0 e. ZZ /\ J e. ZZ /\ if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) /\ if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) <_ J ) ) ) |
498 |
|
elfz2 |
|- ( if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) e. ( 0 ... J ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ J e. ZZ /\ if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) /\ if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) <_ J ) ) ) |
499 |
497 498
|
sylibr |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) e. ( 0 ... J ) ) |
500 |
|
eqid |
|- ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
501 |
386 499 500
|
fmptdf |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) : ( R u. { Z } ) --> ( 0 ... J ) ) |
502 |
|
ovexd |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( 0 ... J ) e. _V ) |
503 |
394 23
|
syl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( R u. { Z } ) e. _V ) |
504 |
502 503
|
elmapd |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) <-> ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) : ( R u. { Z } ) --> ( 0 ... J ) ) ) |
505 |
501 504
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) ) |
506 |
|
eqidd |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) -> ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) = ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) |
507 |
|
eleq1w |
|- ( r = t -> ( r e. R <-> t e. R ) ) |
508 |
|
fveq2 |
|- ( r = t -> ( ( 2nd ` p ) ` r ) = ( ( 2nd ` p ) ` t ) ) |
509 |
507 508
|
ifbieq1d |
|- ( r = t -> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
510 |
509
|
adantl |
|- ( ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) /\ r = t ) -> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
511 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) -> t e. ( R u. { Z } ) ) |
512 |
506 510 511 446
|
fvmptd |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. ( R u. { Z } ) ) -> ( ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ` t ) = if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
513 |
512
|
ex |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( t e. ( R u. { Z } ) -> ( ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ` t ) = if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) |
514 |
386 513
|
ralrimi |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> A. t e. ( R u. { Z } ) ( ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ` t ) = if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
515 |
514
|
sumeq2d |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ` t ) = sum_ t e. ( R u. { Z } ) if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
516 |
|
nfcv |
|- F/_ t if ( Z e. R , ( ( 2nd ` p ) ` Z ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) |
517 |
394 112
|
syl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> R e. Fin ) |
518 |
394 5
|
syl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> Z e. T ) |
519 |
394 6
|
syl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> -. Z e. R ) |
520 |
390
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. R ) -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = ( ( 2nd ` p ) ` t ) ) |
521 |
448 474
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. R ) -> ( ( 2nd ` p ) ` t ) e. ZZ ) |
522 |
521
|
zcnd |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. R ) -> ( ( 2nd ` p ) ` t ) e. CC ) |
523 |
520 522
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ t e. R ) -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) e. CC ) |
524 |
|
eleq1 |
|- ( t = Z -> ( t e. R <-> Z e. R ) ) |
525 |
|
fveq2 |
|- ( t = Z -> ( ( 2nd ` p ) ` t ) = ( ( 2nd ` p ) ` Z ) ) |
526 |
524 525
|
ifbieq1d |
|- ( t = Z -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = if ( Z e. R , ( ( 2nd ` p ) ` Z ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
527 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> -. Z e. R ) |
528 |
527
|
iffalsed |
|- ( ( ph /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> if ( Z e. R , ( ( 2nd ` p ) ` Z ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = ( J - ( 1st ` p ) ) ) |
529 |
528
|
3adant2 |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> if ( Z e. R , ( ( 2nd ` p ) ` Z ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = ( J - ( 1st ` p ) ) ) |
530 |
10
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> J e. ZZ ) |
531 |
530 440
|
zsubcld |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( J - ( 1st ` p ) ) e. ZZ ) |
532 |
531
|
zcnd |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( J - ( 1st ` p ) ) e. CC ) |
533 |
529 532
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> if ( Z e. R , ( ( 2nd ` p ) ` Z ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) e. CC ) |
534 |
386 516 517 518 519 523 526 533
|
fsumsplitsn |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> sum_ t e. ( R u. { Z } ) if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = ( sum_ t e. R if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) + if ( Z e. R , ( ( 2nd ` p ) ` Z ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) |
535 |
390
|
a1i |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( t e. R -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = ( ( 2nd ` p ) ` t ) ) ) |
536 |
386 535
|
ralrimi |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> A. t e. R if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = ( ( 2nd ` p ) ` t ) ) |
537 |
536
|
sumeq2d |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> sum_ t e. R if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = sum_ t e. R ( ( 2nd ` p ) ` t ) ) |
538 |
|
eqidd |
|- ( c = ( 2nd ` p ) -> R = R ) |
539 |
|
simpl |
|- ( ( c = ( 2nd ` p ) /\ t e. R ) -> c = ( 2nd ` p ) ) |
540 |
539
|
fveq1d |
|- ( ( c = ( 2nd ` p ) /\ t e. R ) -> ( c ` t ) = ( ( 2nd ` p ) ` t ) ) |
541 |
538 540
|
sumeq12rdv |
|- ( c = ( 2nd ` p ) -> sum_ t e. R ( c ` t ) = sum_ t e. R ( ( 2nd ` p ) ` t ) ) |
542 |
541
|
eqeq1d |
|- ( c = ( 2nd ` p ) -> ( sum_ t e. R ( c ` t ) = k <-> sum_ t e. R ( ( 2nd ` p ) ` t ) = k ) ) |
543 |
542
|
elrab |
|- ( ( 2nd ` p ) e. { c e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) | sum_ t e. R ( c ` t ) = k } <-> ( ( 2nd ` p ) e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) /\ sum_ t e. R ( ( 2nd ` p ) ` t ) = k ) ) |
544 |
414 543
|
sylib |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( ( 2nd ` p ) e. ( ( 0 ... k ) ^m R ) /\ sum_ t e. R ( ( 2nd ` p ) ` t ) = k ) ) |
545 |
544
|
simprd |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> sum_ t e. R ( ( 2nd ` p ) ` t ) = k ) |
546 |
537 545
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> sum_ t e. R if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = k ) |
547 |
519
|
iffalsed |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> if ( Z e. R , ( ( 2nd ` p ) ` Z ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = ( J - ( 1st ` p ) ) ) |
548 |
547 467
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> if ( Z e. R , ( ( 2nd ` p ) ` Z ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = ( J - k ) ) |
549 |
546 548
|
oveq12d |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( sum_ t e. R if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) + if ( Z e. R , ( ( 2nd ` p ) ` Z ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) = ( k + ( J - k ) ) ) |
550 |
329
|
sseli |
|- ( k e. ( 0 ... J ) -> k e. CC ) |
551 |
550
|
3ad2ant2 |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> k e. CC ) |
552 |
394 306
|
syl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> J e. CC ) |
553 |
551 552
|
pncan3d |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( k + ( J - k ) ) = J ) |
554 |
549 553
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( sum_ t e. R if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) + if ( Z e. R , ( ( 2nd ` p ) ` Z ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) = J ) |
555 |
515 534 554
|
3eqtrd |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ` t ) = J ) |
556 |
505 555
|
jca |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) /\ sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ` t ) = J ) ) |
557 |
|
eleq1w |
|- ( t = r -> ( t e. R <-> r e. R ) ) |
558 |
|
fveq2 |
|- ( t = r -> ( ( 2nd ` p ) ` t ) = ( ( 2nd ` p ) ` r ) ) |
559 |
557 558
|
ifbieq1d |
|- ( t = r -> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
560 |
559
|
cbvmptv |
|- ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) = ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
561 |
560
|
eqeq2i |
|- ( c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) <-> c = ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) |
562 |
561
|
biimpi |
|- ( c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) -> c = ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) |
563 |
|
fveq1 |
|- ( c = ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) -> ( c ` t ) = ( ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ` t ) ) |
564 |
563
|
sumeq2sdv |
|- ( c = ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) -> sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ` t ) ) |
565 |
562 564
|
syl |
|- ( c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) -> sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ` t ) ) |
566 |
565
|
eqeq1d |
|- ( c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) -> ( sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J <-> sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ` t ) = J ) ) |
567 |
566
|
elrab |
|- ( ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) e. { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } <-> ( ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) /\ sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ` t ) = J ) ) |
568 |
556 567
|
sylibr |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) e. { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } ) |
569 |
568
|
3exp |
|- ( ph -> ( k e. ( 0 ... J ) -> ( p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) e. { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } ) ) ) |
570 |
569
|
adantr |
|- ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... J ) -> ( p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) e. { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } ) ) ) |
571 |
375 376 570
|
rexlimd |
|- ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( E. k e. ( 0 ... J ) p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) e. { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } ) ) |
572 |
370 571
|
mpd |
|- ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) e. { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } ) |
573 |
42
|
eqcomd |
|- ( ph -> { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } = ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) |
574 |
573
|
adantr |
|- ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> { c e. ( ( 0 ... J ) ^m ( R u. { Z } ) ) | sum_ t e. ( R u. { Z } ) ( c ` t ) = J } = ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) |
575 |
572 574
|
eleqtrd |
|- ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) ) |
576 |
3
|
a1i |
|- ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> D = ( c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) |-> <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. ) ) |
577 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) -> c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) |
578 |
560
|
a1i |
|- ( ( ph /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) -> ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) = ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) |
579 |
577 578
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) -> c = ( r e. ( R u. { Z } ) |-> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) |
580 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ r = Z ) -> r = Z ) |
581 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ r = Z ) -> -. Z e. R ) |
582 |
580 581
|
eqneltrd |
|- ( ( ph /\ r = Z ) -> -. r e. R ) |
583 |
582
|
iffalsed |
|- ( ( ph /\ r = Z ) -> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = ( J - ( 1st ` p ) ) ) |
584 |
583
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) /\ r = Z ) -> if ( r e. R , ( ( 2nd ` p ) ` r ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) = ( J - ( 1st ` p ) ) ) |
585 |
54
|
adantr |
|- ( ( ph /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) -> Z e. ( R u. { Z } ) ) |
586 |
|
ovexd |
|- ( ( ph /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) -> ( J - ( 1st ` p ) ) e. _V ) |
587 |
579 584 585 586
|
fvmptd |
|- ( ( ph /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) -> ( c ` Z ) = ( J - ( 1st ` p ) ) ) |
588 |
587
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) -> ( J - ( c ` Z ) ) = ( J - ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
589 |
588
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) -> ( J - ( c ` Z ) ) = ( J - ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |
590 |
306
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) -> J e. CC ) |
591 |
|
nfv |
|- F/ k ( 1st ` p ) e. ( 0 ... J ) |
592 |
|
simpl |
|- ( ( k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> k e. ( 0 ... J ) ) |
593 |
|
simpr |
|- ( ( k e. ( 0 ... J ) /\ ( 1st ` p ) = k ) -> ( 1st ` p ) = k ) |
594 |
|
simpl |
|- ( ( k e. ( 0 ... J ) /\ ( 1st ` p ) = k ) -> k e. ( 0 ... J ) ) |
595 |
593 594
|
eqeltrd |
|- ( ( k e. ( 0 ... J ) /\ ( 1st ` p ) = k ) -> ( 1st ` p ) e. ( 0 ... J ) ) |
596 |
592 436 595
|
syl2anc |
|- ( ( k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( 1st ` p ) e. ( 0 ... J ) ) |
597 |
596
|
ex |
|- ( k e. ( 0 ... J ) -> ( p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> ( 1st ` p ) e. ( 0 ... J ) ) ) |
598 |
597
|
a1i |
|- ( p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> ( k e. ( 0 ... J ) -> ( p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> ( 1st ` p ) e. ( 0 ... J ) ) ) ) |
599 |
374 591 598
|
rexlimd |
|- ( p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> ( E. k e. ( 0 ... J ) p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> ( 1st ` p ) e. ( 0 ... J ) ) ) |
600 |
369 599
|
mpd |
|- ( p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> ( 1st ` p ) e. ( 0 ... J ) ) |
601 |
12
|
sseli |
|- ( ( 1st ` p ) e. ( 0 ... J ) -> ( 1st ` p ) e. ZZ ) |
602 |
600 601
|
syl |
|- ( p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> ( 1st ` p ) e. ZZ ) |
603 |
602
|
zcnd |
|- ( p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> ( 1st ` p ) e. CC ) |
604 |
603
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) -> ( 1st ` p ) e. CC ) |
605 |
590 604
|
nncand |
|- ( ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) -> ( J - ( J - ( 1st ` p ) ) ) = ( 1st ` p ) ) |
606 |
589 605
|
eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) -> ( J - ( c ` Z ) ) = ( 1st ` p ) ) |
607 |
|
reseq1 |
|- ( c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) -> ( c |` R ) = ( ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |` R ) ) |
608 |
607
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) -> ( c |` R ) = ( ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |` R ) ) |
609 |
75
|
a1i |
|- ( ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) -> R C_ ( R u. { Z } ) ) |
610 |
609
|
resmptd |
|- ( ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) -> ( ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) |` R ) = ( t e. R |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) |
611 |
|
nfv |
|- F/ k ( t e. R |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) = ( 2nd ` p ) |
612 |
390
|
mpteq2ia |
|- ( t e. R |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) = ( t e. R |-> ( ( 2nd ` p ) ` t ) ) |
613 |
612
|
a1i |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( t e. R |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) = ( t e. R |-> ( ( 2nd ` p ) ` t ) ) ) |
614 |
419
|
feqmptd |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( 2nd ` p ) = ( t e. R |-> ( ( 2nd ` p ) ` t ) ) ) |
615 |
613 614
|
eqtr4d |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) /\ p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( t e. R |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) = ( 2nd ` p ) ) |
616 |
615
|
3exp |
|- ( ph -> ( k e. ( 0 ... J ) -> ( p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> ( t e. R |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) = ( 2nd ` p ) ) ) ) |
617 |
616
|
adantr |
|- ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... J ) -> ( p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> ( t e. R |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) = ( 2nd ` p ) ) ) ) |
618 |
375 611 617
|
rexlimd |
|- ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( E. k e. ( 0 ... J ) p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> ( t e. R |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) = ( 2nd ` p ) ) ) |
619 |
370 618
|
mpd |
|- ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( t e. R |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) = ( 2nd ` p ) ) |
620 |
619
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) -> ( t e. R |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) = ( 2nd ` p ) ) |
621 |
608 610 620
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) -> ( c |` R ) = ( 2nd ` p ) ) |
622 |
606 621
|
opeq12d |
|- ( ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) /\ c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) -> <. ( J - ( c ` Z ) ) , ( c |` R ) >. = <. ( 1st ` p ) , ( 2nd ` p ) >. ) |
623 |
|
opex |
|- <. ( 1st ` p ) , ( 2nd ` p ) >. e. _V |
624 |
623
|
a1i |
|- ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> <. ( 1st ` p ) , ( 2nd ` p ) >. e. _V ) |
625 |
576 622 575 624
|
fvmptd |
|- ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( D ` ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) = <. ( 1st ` p ) , ( 2nd ` p ) >. ) |
626 |
|
nfv |
|- F/ k <. ( 1st ` p ) , ( 2nd ` p ) >. = p |
627 |
|
1st2nd2 |
|- ( p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> p = <. ( 1st ` p ) , ( 2nd ` p ) >. ) |
628 |
627
|
eqcomd |
|- ( p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> <. ( 1st ` p ) , ( 2nd ` p ) >. = p ) |
629 |
628
|
a1i |
|- ( k e. ( 0 ... J ) -> ( p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> <. ( 1st ` p ) , ( 2nd ` p ) >. = p ) ) |
630 |
629
|
a1i |
|- ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( k e. ( 0 ... J ) -> ( p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> <. ( 1st ` p ) , ( 2nd ` p ) >. = p ) ) ) |
631 |
375 626 630
|
rexlimd |
|- ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> ( E. k e. ( 0 ... J ) p e. ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) -> <. ( 1st ` p ) , ( 2nd ` p ) >. = p ) ) |
632 |
370 631
|
mpd |
|- ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> <. ( 1st ` p ) , ( 2nd ` p ) >. = p ) |
633 |
625 632
|
eqtr2d |
|- ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> p = ( D ` ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) ) |
634 |
|
fveq2 |
|- ( c = ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) -> ( D ` c ) = ( D ` ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) ) |
635 |
634
|
rspceeqv |
|- ( ( ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) /\ p = ( D ` ( t e. ( R u. { Z } ) |-> if ( t e. R , ( ( 2nd ` p ) ` t ) , ( J - ( 1st ` p ) ) ) ) ) ) -> E. c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) p = ( D ` c ) ) |
636 |
575 633 635
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) -> E. c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) p = ( D ` c ) ) |
637 |
636
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) E. c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) p = ( D ` c ) ) |
638 |
251 637
|
jca |
|- ( ph -> ( D : ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) --> U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) /\ A. p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) E. c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) p = ( D ` c ) ) ) |
639 |
|
dffo3 |
|- ( D : ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) -onto-> U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) <-> ( D : ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) --> U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) /\ A. p e. U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) E. c e. ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) p = ( D ` c ) ) ) |
640 |
638 639
|
sylibr |
|- ( ph -> D : ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) -onto-> U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) |
641 |
367 640
|
jca |
|- ( ph -> ( D : ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) -1-1-> U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) /\ D : ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) -onto-> U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) ) |
642 |
|
df-f1o |
|- ( D : ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) -1-1-onto-> U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) <-> ( D : ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) -1-1-> U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) /\ D : ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) -onto-> U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) ) |
643 |
641 642
|
sylibr |
|- ( ph -> D : ( ( C ` ( R u. { Z } ) ) ` J ) -1-1-onto-> U_ k e. ( 0 ... J ) ( { k } X. ( ( C ` R ) ` k ) ) ) |