Theorem efmndcl

Description: The group operation of the monoid of endofunctions on A is closed. (Contributed by AV, 27-Jan-2024)

	Ref	Expression
Hypotheses	efmndtset.g	|- G = ( EndoFMnd ` A )
	efmndplusg.b	|- B = ( Base ` G )
	efmndplusg.p	|- .+ = ( +g ` G )
Assertion	efmndcl	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efmndtset.g	|- G = ( EndoFMnd ` A )
2		efmndplusg.b	|- B = ( Base ` G )
3		efmndplusg.p	|- .+ = ( +g ` G )
4	1 2 3	efmndov	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( X o. Y ) )
5	1 2	efmndbasf	|- ( X e. B -> X : A --> A )
6	1 2	efmndbasf	|- ( Y e. B -> Y : A --> A )
7		fco	|- ( ( X : A --> A /\ Y : A --> A ) -> ( X o. Y ) : A --> A )
8	5 6 7	syl2an	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X o. Y ) : A --> A )
9		coexg	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X o. Y ) e. _V )
10	1 2	elefmndbas2	|- ( ( X o. Y ) e. _V -> ( ( X o. Y ) e. B <-> ( X o. Y ) : A --> A ) )
11	9 10	syl	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X o. Y ) e. B <-> ( X o. Y ) : A --> A ) )
12	8 11	mpbird	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X o. Y ) e. B )
13	4 12	eqeltrd	|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )