Theorem elabrexg

Description: Elementhood in an image set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019)

	Ref	Expression
Assertion	elabrexg	|- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> B e. { y | E. x e. A y = B } )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tru	|- T.
2		csbeq1a	|- ( x = z -> B = [_ z / x ]_ B )
3	2	equcoms	|- ( z = x -> B = [_ z / x ]_ B )
4		trud	|- ( z = x -> T. )
5	3 4	2thd	|- ( z = x -> ( B = [_ z / x ]_ B <-> T. ) )
6	5	rspcev	|- ( ( x e. A /\ T. ) -> E. z e. A B = [_ z / x ]_ B )
7	1 6	mpan2	|- ( x e. A -> E. z e. A B = [_ z / x ]_ B )
8	7	adantr	|- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> E. z e. A B = [_ z / x ]_ B )
9		eqeq1	|- ( y = B -> ( y = [_ z / x ]_ B <-> B = [_ z / x ]_ B ) )
10	9	rexbidv	|- ( y = B -> ( E. z e. A y = [_ z / x ]_ B <-> E. z e. A B = [_ z / x ]_ B ) )
11	10	elabg	|- ( B e. V -> ( B e. { y | E. z e. A y = [_ z / x ]_ B } <-> E. z e. A B = [_ z / x ]_ B ) )
12	11	adantl	|- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> ( B e. { y | E. z e. A y = [_ z / x ]_ B } <-> E. z e. A B = [_ z / x ]_ B ) )
13	8 12	mpbird	|- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> B e. { y | E. z e. A y = [_ z / x ]_ B } )
14		nfv	|- F/ z y = B
15		nfcsb1v	|- F/_ x [_ z / x ]_ B
16	15	nfeq2	|- F/ x y = [_ z / x ]_ B
17	2	eqeq2d	|- ( x = z -> ( y = B <-> y = [_ z / x ]_ B ) )
18	14 16 17	cbvrexw	|- ( E. x e. A y = B <-> E. z e. A y = [_ z / x ]_ B )
19	18	abbii	|- { y | E. x e. A y = B } = { y | E. z e. A y = [_ z / x ]_ B }
20	13 19	eleqtrrdi	|- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> B e. { y | E. x e. A y = B } )