Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elex |
|- ( A e. ( B \ C ) -> A e. _V ) |
2 |
|
elex |
|- ( A e. B -> A e. _V ) |
3 |
2
|
adantr |
|- ( ( A e. B /\ -. A e. C ) -> A e. _V ) |
4 |
|
eleq1 |
|- ( x = y -> ( x e. B <-> y e. B ) ) |
5 |
|
eleq1 |
|- ( x = y -> ( x e. C <-> y e. C ) ) |
6 |
5
|
notbid |
|- ( x = y -> ( -. x e. C <-> -. y e. C ) ) |
7 |
4 6
|
anbi12d |
|- ( x = y -> ( ( x e. B /\ -. x e. C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. C ) ) ) |
8 |
|
eleq1 |
|- ( y = A -> ( y e. B <-> A e. B ) ) |
9 |
|
eleq1 |
|- ( y = A -> ( y e. C <-> A e. C ) ) |
10 |
9
|
notbid |
|- ( y = A -> ( -. y e. C <-> -. A e. C ) ) |
11 |
8 10
|
anbi12d |
|- ( y = A -> ( ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) ) ) |
12 |
|
df-dif |
|- ( B \ C ) = { x | ( x e. B /\ -. x e. C ) } |
13 |
7 11 12
|
elab2gw |
|- ( A e. _V -> ( A e. ( B \ C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) ) ) |
14 |
1 3 13
|
pm5.21nii |
|- ( A e. ( B \ C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) ) |