Metamath Proof Explorer

Theorem elfzo

Description: Membership in a half-open finite set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion elfzo 
|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 peano2zm 
 |-  ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
2 elfz 
 |-  ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( M <_ K /\ K <_ ( N - 1 ) ) ) )
3 1 2 syl3an3 
 |-  ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( M <_ K /\ K <_ ( N - 1 ) ) ) )
4 fzoval 
 |-  ( N e. ZZ -> ( M ..^ N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) )
5 4 eleq2d 
 |-  ( N e. ZZ -> ( K e. ( M ..^ N ) <-> K e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
6 5 3ad2ant3 
 |-  ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ..^ N ) <-> K e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) )
7 zltlem1 
 |-  ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < N <-> K <_ ( N - 1 ) ) )
8 7 3adant2 
 |-  ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < N <-> K <_ ( N - 1 ) ) )
9 8 anbi2d 
 |-  ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K < N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ ( N - 1 ) ) ) )
10 3 6 9 3bitr4d 
 |-  ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ..^ N ) <-> ( M <_ K /\ K < N ) ) )