Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elex |
|- ( A e. ( B i^i C ) -> A e. _V ) |
2 |
|
elex |
|- ( A e. C -> A e. _V ) |
3 |
2
|
adantl |
|- ( ( A e. B /\ A e. C ) -> A e. _V ) |
4 |
|
eleq1 |
|- ( x = y -> ( x e. B <-> y e. B ) ) |
5 |
|
eleq1 |
|- ( x = y -> ( x e. C <-> y e. C ) ) |
6 |
4 5
|
anbi12d |
|- ( x = y -> ( ( x e. B /\ x e. C ) <-> ( y e. B /\ y e. C ) ) ) |
7 |
|
eleq1 |
|- ( y = A -> ( y e. B <-> A e. B ) ) |
8 |
|
eleq1 |
|- ( y = A -> ( y e. C <-> A e. C ) ) |
9 |
7 8
|
anbi12d |
|- ( y = A -> ( ( y e. B /\ y e. C ) <-> ( A e. B /\ A e. C ) ) ) |
10 |
|
df-in |
|- ( B i^i C ) = { x | ( x e. B /\ x e. C ) } |
11 |
6 9 10
|
elab2gw |
|- ( A e. _V -> ( A e. ( B i^i C ) <-> ( A e. B /\ A e. C ) ) ) |
12 |
1 3 11
|
pm5.21nii |
|- ( A e. ( B i^i C ) <-> ( A e. B /\ A e. C ) ) |