Theorem elintrabg

Description: Membership in the intersection of a class abstraction. (Contributed by NM, 17-Feb-2007)

	Ref	Expression
Assertion	elintrabg	|- ( A e. V -> ( A e. |^| { x e. B | ph } <-> A. x e. B ( ph -> A e. x ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1	|- ( y = A -> ( y e. |^| { x e. B | ph } <-> A e. |^| { x e. B | ph } ) )
2		eleq1	|- ( y = A -> ( y e. x <-> A e. x ) )
3	2	imbi2d	|- ( y = A -> ( ( ph -> y e. x ) <-> ( ph -> A e. x ) ) )
4	3	ralbidv	|- ( y = A -> ( A. x e. B ( ph -> y e. x ) <-> A. x e. B ( ph -> A e. x ) ) )
5		vex	|- y e. _V
6	5	elintrab	|- ( y e. |^| { x e. B | ph } <-> A. x e. B ( ph -> y e. x ) )
7	1 4 6	vtoclbg	|- ( A e. V -> ( A e. |^| { x e. B | ph } <-> A. x e. B ( ph -> A e. x ) ) )