Theorem ello1d

Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016)

	Ref	Expression
Hypotheses	ello1mpt.1	|- ( ph -> A C_ RR )
	ello1mpt.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
	ello1d.3	|- ( ph -> C e. RR )
	ello1d.4	|- ( ph -> M e. RR )
	ello1d.5	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ C <_ x ) ) -> B <_ M )
Assertion	ello1d	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ello1mpt.1	|- ( ph -> A C_ RR )
2		ello1mpt.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
3		ello1d.3	|- ( ph -> C e. RR )
4		ello1d.4	|- ( ph -> M e. RR )
5		ello1d.5	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ C <_ x ) ) -> B <_ M )
6	5	expr	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C <_ x -> B <_ M ) )
7	6	ralrimiva	|- ( ph -> A. x e. A ( C <_ x -> B <_ M ) )
8		breq1	|- ( y = C -> ( y <_ x <-> C <_ x ) )
9	8	imbi1d	|- ( y = C -> ( ( y <_ x -> B <_ m ) <-> ( C <_ x -> B <_ m ) ) )
10	9	ralbidv	|- ( y = C -> ( A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) <-> A. x e. A ( C <_ x -> B <_ m ) ) )
11		breq2	|- ( m = M -> ( B <_ m <-> B <_ M ) )
12	11	imbi2d	|- ( m = M -> ( ( C <_ x -> B <_ m ) <-> ( C <_ x -> B <_ M ) ) )
13	12	ralbidv	|- ( m = M -> ( A. x e. A ( C <_ x -> B <_ m ) <-> A. x e. A ( C <_ x -> B <_ M ) ) )
14	10 13	rspc2ev	|- ( ( C e. RR /\ M e. RR /\ A. x e. A ( C <_ x -> B <_ M ) ) -> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) )
15	3 4 7 14	syl3anc	|- ( ph -> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) )
16	1 2	ello1mpt	|- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) <-> E. y e. RR E. m e. RR A. x e. A ( y <_ x -> B <_ m ) ) )
17	15 16	mpbird	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. <_O(1) )