Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elex |
|- ( A e. U. B -> A e. _V ) |
2 |
|
elex |
|- ( A e. x -> A e. _V ) |
3 |
2
|
adantr |
|- ( ( A e. x /\ x e. B ) -> A e. _V ) |
4 |
3
|
exlimiv |
|- ( E. x ( A e. x /\ x e. B ) -> A e. _V ) |
5 |
|
elequ1 |
|- ( y = z -> ( y e. x <-> z e. x ) ) |
6 |
5
|
anbi1d |
|- ( y = z -> ( ( y e. x /\ x e. B ) <-> ( z e. x /\ x e. B ) ) ) |
7 |
6
|
exbidv |
|- ( y = z -> ( E. x ( y e. x /\ x e. B ) <-> E. x ( z e. x /\ x e. B ) ) ) |
8 |
|
eleq1 |
|- ( z = A -> ( z e. x <-> A e. x ) ) |
9 |
8
|
anbi1d |
|- ( z = A -> ( ( z e. x /\ x e. B ) <-> ( A e. x /\ x e. B ) ) ) |
10 |
9
|
exbidv |
|- ( z = A -> ( E. x ( z e. x /\ x e. B ) <-> E. x ( A e. x /\ x e. B ) ) ) |
11 |
|
df-uni |
|- U. B = { y | E. x ( y e. x /\ x e. B ) } |
12 |
7 10 11
|
elab2gw |
|- ( A e. _V -> ( A e. U. B <-> E. x ( A e. x /\ x e. B ) ) ) |
13 |
1 4 12
|
pm5.21nii |
|- ( A e. U. B <-> E. x ( A e. x /\ x e. B ) ) |