Theorem elunirab

Description: Membership in union of a class abstraction. (Contributed by NM, 4-Oct-2006)

	Ref	Expression
Assertion	elunirab	|- ( A e. U. { x e. B | ph } <-> E. x e. B ( A e. x /\ ph ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluniab	|- ( A e. U. { x | ( x e. B /\ ph ) } <-> E. x ( A e. x /\ ( x e. B /\ ph ) ) )
2		df-rab	|- { x e. B | ph } = { x | ( x e. B /\ ph ) }
3	2	unieqi	|- U. { x e. B | ph } = U. { x | ( x e. B /\ ph ) }
4	3	eleq2i	|- ( A e. U. { x e. B | ph } <-> A e. U. { x | ( x e. B /\ ph ) } )
5		df-rex	|- ( E. x e. B ( A e. x /\ ph ) <-> E. x ( x e. B /\ ( A e. x /\ ph ) ) )
6		an12	|- ( ( x e. B /\ ( A e. x /\ ph ) ) <-> ( A e. x /\ ( x e. B /\ ph ) ) )
7	6	exbii	|- ( E. x ( x e. B /\ ( A e. x /\ ph ) ) <-> E. x ( A e. x /\ ( x e. B /\ ph ) ) )
8	5 7	bitri	|- ( E. x e. B ( A e. x /\ ph ) <-> E. x ( A e. x /\ ( x e. B /\ ph ) ) )
9	1 4 8	3bitr4i	|- ( A e. U. { x e. B | ph } <-> E. x e. B ( A e. x /\ ph ) )