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Theorem eluzadd

Description: Membership in a later upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009)

Ref Expression
Assertion eluzadd 
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 eluzel2 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2 fveq2 
 |-  ( M = if ( M e. ZZ , M , 0 ) -> ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) )
3 2 eleq2d 
 |-  ( M = if ( M e. ZZ , M , 0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> N e. ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) ) )
4 fvoveq1 
 |-  ( M = if ( M e. ZZ , M , 0 ) -> ( ZZ>= ` ( M + K ) ) = ( ZZ>= ` ( if ( M e. ZZ , M , 0 ) + K ) ) )
5 4 eleq2d 
 |-  ( M = if ( M e. ZZ , M , 0 ) -> ( ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) <-> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( if ( M e. ZZ , M , 0 ) + K ) ) ) )
6 3 5 imbi12d 
 |-  ( M = if ( M e. ZZ , M , 0 ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( if ( M e. ZZ , M , 0 ) + K ) ) ) ) )
7 oveq2 
 |-  ( K = if ( K e. ZZ , K , 0 ) -> ( N + K ) = ( N + if ( K e. ZZ , K , 0 ) ) )
8 oveq2 
 |-  ( K = if ( K e. ZZ , K , 0 ) -> ( if ( M e. ZZ , M , 0 ) + K ) = ( if ( M e. ZZ , M , 0 ) + if ( K e. ZZ , K , 0 ) ) )
9 8 fveq2d 
 |-  ( K = if ( K e. ZZ , K , 0 ) -> ( ZZ>= ` ( if ( M e. ZZ , M , 0 ) + K ) ) = ( ZZ>= ` ( if ( M e. ZZ , M , 0 ) + if ( K e. ZZ , K , 0 ) ) ) )
10 7 9 eleq12d 
 |-  ( K = if ( K e. ZZ , K , 0 ) -> ( ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( if ( M e. ZZ , M , 0 ) + K ) ) <-> ( N + if ( K e. ZZ , K , 0 ) ) e. ( ZZ>= ` ( if ( M e. ZZ , M , 0 ) + if ( K e. ZZ , K , 0 ) ) ) ) )
11 10 imbi2d 
 |-  ( K = if ( K e. ZZ , K , 0 ) -> ( ( N e. ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( if ( M e. ZZ , M , 0 ) + K ) ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) -> ( N + if ( K e. ZZ , K , 0 ) ) e. ( ZZ>= ` ( if ( M e. ZZ , M , 0 ) + if ( K e. ZZ , K , 0 ) ) ) ) ) )
12 0z 
 |-  0 e. ZZ
13 12 elimel 
 |-  if ( M e. ZZ , M , 0 ) e. ZZ
14 12 elimel 
 |-  if ( K e. ZZ , K , 0 ) e. ZZ
15 13 14 eluzaddi 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` if ( M e. ZZ , M , 0 ) ) -> ( N + if ( K e. ZZ , K , 0 ) ) e. ( ZZ>= ` ( if ( M e. ZZ , M , 0 ) + if ( K e. ZZ , K , 0 ) ) ) )
16 6 11 15 dedth2h 
 |-  ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) )
17 16 com12 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) )
18 1 17 mpand 
 |-  ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K e. ZZ -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) )
19 18 imp 
 |-  ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )